Номер 627, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 627, страница 182.

Условие.

627. Установите, при каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{\sin x}$;

б) $\sqrt{1 + \cos x}$;

в) $\sqrt{\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x} .$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Выражение $\sqrt{\sin x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для углов, находящихся в первой и второй четвертях координатной плоскости. Решением неравенства является промежуток $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б)

Выражение $\frac{1}{\sqrt{1 + \cos x}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательно ($1 + \cos x \ge 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{1 + \cos x} \ne 0$).

Объединив эти два условия, получаем одно строгое неравенство: $1 + \cos x > 0$.

Это неравенство эквивалентно $\cos x > -1$.

Так как область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, неравенство $\cos x > -1$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме тех, где $\cos x = -1$.

Уравнение $\cos x = -1$ имеет решения $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число. Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить.

Ответ: $x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Выражение $\sqrt{\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x}$ имеет смысл, когда одновременно определены функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, и их произведение неотрицательно.

1. Область определения $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ - это все $x$, для которых $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область определения $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ - это все $x$, для которых $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Для тех $x$, где и тангенс, и котангенс определены, их произведение равно 1: $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$. Условие $1 \ge 0$ выполняется всегда.

Таким образом, нужно найти все значения $x$, для которых одновременно $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это эквивалентно тому, что $\sin(2x) = 2\sin x \cos x \ne 0$. Решением уравнения $\sin(2x) = 0$ являются $2x = \pi m$, или $x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти значения необходимо исключить.

Ответ: $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.