Номер 620, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 620, страница 181.

Условие.

620. Исследуйте и установите, для каких значений из промежутка

$[0; \pi]$:

а) $\sqrt{1 - \cos x} - \sqrt{1 + \cos x} > 0$;

б) $\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x} < 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Решим неравенство $\sqrt{1 - \cos x} - \sqrt{1 + \cos x} > 0$ на промежутке $x \in [0; \pi]$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$1 - \cos x \ge 0 \implies \cos x \le 1$

$1 + \cos x \ge 0 \implies \cos x \ge -1$

Оба этих условия выполняются для любого действительного значения $x$, так как $-1 \le \cos x \le 1$. Таким образом, ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений на $x$ из заданного промежутка $[0; \pi]$.

Перепишем исходное неравенство в виде:

$\sqrt{1 - \cos x} > \sqrt{1 + \cos x}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{1 - \cos x})^2 > (\sqrt{1 + \cos x})^2$

$1 - \cos x > 1 + \cos x$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\cos x > \cos x$

Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$0 > 2\cos x$

Разделим на 2:

$0 > \cos x$, или $\cos x < 0$.

Теперь нам нужно найти все значения $x$ из промежутка $[0; \pi]$, для которых $\cos x$ отрицателен.

На промежутке $[0; \pi]$ функция $\cos x$ принимает значения от $1$ (при $x=0$) до $-1$ (при $x=\pi$). Косинус равен нулю при $x = \pi/2$. Косинус отрицателен, когда угол $x$ находится во второй четверти.

Для промежутка $[0; \pi]$ это соответствует значениям $x$, большим чем $\pi/2$ и меньшим или равным $\pi$.

Таким образом, решение неравенства $\cos x < 0$ на промежутке $[0; \pi]$ есть $x \in (\pi/2; \pi]$.

Ответ: $x \in (\pi/2; \pi]$.

б) Решим неравенство $\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x} < 0$ на промежутке $x \in [0; \pi]$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства, как и в предыдущем пункте, не накладывает дополнительных ограничений, так как выражения $1 - \sin x$ и $1 + \sin x$ всегда неотрицательны при любых действительных $x$, поскольку $-1 \le \sin x \le 1$.

Перепишем исходное неравенство в виде:

$\sqrt{1 - \sin x} < \sqrt{1 + \sin x}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат без изменения знака неравенства:

$(\sqrt{1 - \sin x})^2 < (\sqrt{1 + \sin x})^2$

$1 - \sin x < 1 + \sin x$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$-\sin x < \sin x$

Переносим $\sin x$ в правую часть:

$0 < 2\sin x$

Или:

$\sin x > 0$

Теперь найдем все значения $x$ из промежутка $[0; \pi]$, для которых $\sin x$ положителен.

На промежутке $[0; \pi]$ функция $\sin x$ принимает неотрицательные значения. Она равна нулю при $x=0$ и $x=\pi$. Во всех остальных точках этого промежутка (т.е. в первой и второй четвертях) $\sin x$ строго положителен.

Таким образом, решение неравенства $\sin x > 0$ на промежутке $[0; \pi]$ есть $x \in (0; \pi)$.

Ответ: $x \in (0; \pi)$.