Номер 616, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 616, страница 180.

Условие.

616. Найдите нули функции:

a) $y = \mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = \mathrm{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = \mathrm{tg}\left(4x - \frac{\pi}{2}\right);$

г) $y = \mathrm{ctg}(\pi - 2x).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y=0$.

а) $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$

Приравняем функцию к нулю:

$\tg(x + \frac{\pi}{3}) = 0$

Функция тангенс равна нулю, когда её аргумент равен $k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, получаем уравнение:

$x + \frac{\pi}{3} = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = k\pi - \frac{\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \ctg(x - \frac{\pi}{6})$

Приравняем функцию к нулю:

$\ctg(x - \frac{\pi}{6}) = 0$

Функция котангенс равна нулю, когда её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, получаем уравнение:

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$x = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{4\pi}{6} + k\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \tg(4x - \frac{\pi}{2})$

Приравняем функцию к нулю:

$\tg(4x - \frac{\pi}{2}) = 0$

Аргумент тангенса должен быть равен $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$4x - \frac{\pi}{2} = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{4}(\frac{\pi}{2} + k\pi) = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \ctg(\pi - 2x)$

Приравняем функцию к нулю:

$\ctg(\pi - 2x) = 0$

Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi - 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$-2x = \frac{\pi}{2} - \pi + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$-2x = -\frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части уравнения на -2:

$x = \frac{-\frac{\pi}{2}}{-2} + \frac{k\pi}{-2} = \frac{\pi}{4} - \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Так как $k$ является любым целым числом, то $-k$ также представляет собой любое целое число. Поэтому для удобства можно заменить $-k$ на $+k$ (или любую другую букву, обозначающую целое число).

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.