Номер 610, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 610, страница 179.

Условие.

610. Найдите область определения функции:

a) $y = \operatorname{tg} x - 2$;

б) $y = \operatorname{tg} 2x$;

в) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{1}{2}x\right)$;

г) $y = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Область определения функции $y = \text{tg } x - 2$ совпадает с областью определения функции $y = \text{tg } x$. Функция тангенса, $y = \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$, определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $\cos x \neq 0$. Решением уравнения $\cos x = 0$ являются значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, область определения данной функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Область определения функции $y = \text{tg } 2x$ находится из условия, что аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. То есть, мы должны исключить значения $x$, для которых $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Разделив обе части этого равенства на 2, получим $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Область определения функции $y = \text{ctg}(\frac{1}{2}x)$ находится из условия, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это связано с тем, что $y=\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ определена при $\sin \alpha \neq 0$, что эквивалентно $\alpha \neq \pi k$. В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{1}{2}x$. Таким образом, $\frac{1}{2}x \neq \pi k$. Умножив обе части неравенства на 2, получим $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Область определения функции $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{4})$ находится из условия, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. То есть, $x - \frac{\pi}{4} \neq \pi k$. Прибавив к обеим частям неравенства $\frac{\pi}{4}$, получим $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.