Номер 607, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 607, страница 179.

Условие.

607. Укажите область определения, множество значений и нули функции:

а) $y = 3\sin x;$

б) $y = \cos \frac{1}{2} x;$

в) $y = -\frac{1}{2} \sin 3x;$

г) $y = -\frac{1}{3} \cos x;$

д) $y = |\sin x|;$

е) $y = |\cos x|.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для функции $y = 3\sin x$. Область определения: так как функция $\sin x$ определена для всех действительных чисел, то область определения данной функции — все действительные числа, то есть $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: множество значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, следовательно, для функции $y = 3\sin x$ множество значений есть отрезок $[3 \cdot (-1), 3 \cdot 1]$, то есть $E(y) = [-3, 3]$. Нули функции: для нахождения нулей решим уравнение $3\sin x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [-3, 3]$; нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = \cos\frac{x}{2}$. Область определения: функция $\cos t$ определена для всех действительных $t$. Так как аргумент $\frac{x}{2}$ является действительным числом для любого действительного $x$, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: множество значений функции косинус не зависит от коэффициента при аргументе и равно отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, $E(y) = [-1, 1]$. Нули функции: решим уравнение $\cos\frac{x}{2} = 0$. Решения имеют вид $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Умножая обе части на 2, получаем $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [-1, 1]$; нули функции: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $y = -\frac{1}{2}\sin 3x$. Область определения: функция определена для всех действительных $x$, так как синус определен для любого аргумента, $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: множество значений функции $\sin 3x$ есть отрезок $[-1, 1]$. При умножении на $-\frac{1}{2}$, концы отрезка преобразуются в $-\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$. Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули функции: решим уравнение $-\frac{1}{2}\sin 3x = 0$, что эквивалентно $\sin 3x = 0$. Решения имеют вид $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$; нули функции: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для функции $y = -\frac{1}{3}\cos x$. Область определения: функция косинус определена для всех действительных чисел, поэтому $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: множество значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. При умножении на $-\frac{1}{3}$, концы отрезка преобразуются в $-\frac{1}{3} \cdot (-1) = \frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$. Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$. $E(y) = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$. Нули функции: решим уравнение $-\frac{1}{3}\cos x = 0$, что эквивалентно $\cos x = 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$; нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Для функции $y = |\sin x|$. Область определения: функция определена для всех действительных $x$, поскольку функция $\sin x$ определена для всех $x$, то есть $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Модуль числа всегда неотрицателен, поэтому значения $y$ не могут быть отрицательными. Максимальное значение $|\sin x|$ равно $1$, а минимальное равно $0$. Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[0, 1]$. $E(y) = [0, 1]$. Нули функции: решим уравнение $|\sin x| = 0$, что эквивалентно $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [0, 1]$; нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Для функции $y = |\cos x|$. Область определения: функция определена для всех действительных $x$, поскольку функция $\cos x$ определена для всех $x$, $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений: функция $\cos x$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, значения $y$ будут принадлежать отрезку $[0, 1]$. Максимальное значение $|\cos x|$ равно $1$, а минимальное равно $0$. Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[0, 1]$. $E(y) = [0, 1]$. Нули функции: решим уравнение $|\cos x| = 0$, что эквивалентно $\cos x = 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; множество значений: $E(y) = [0, 1]$; нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.