Номер 600, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 600, страница 178.

Условие.

600. Вычислите:

a) $\cos 15\pi$;

б) $\sin \frac{25\pi}{2}$;

в) $\cos\left(-\frac{33\pi}{4}\right)$;

г) $\sin\left(-\frac{19\pi}{6}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Функция косинус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$.
Представим $15\pi$ в виде $15\pi = \pi + 14\pi = \pi + 7 \cdot 2\pi$.
Следовательно, $cos(15\pi) = cos(\pi + 7 \cdot 2\pi) = cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1

б) Функция синус является периодической с периодом $2\pi$.
Представим аргумент $\frac{25\pi}{2}$ в виде суммы, выделив целое число полных периодов:
$\frac{25\pi}{2} = \frac{24\pi + \pi}{2} = 12\pi + \frac{\pi}{2} = 6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $sin(\frac{25\pi}{2}) = sin(6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: 1

в) Функция косинус является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Поэтому $cos(-\frac{33\pi}{4}) = cos(\frac{33\pi}{4})$.
Теперь используем периодичность косинуса. Выделим целое число полных периодов из аргумента:
$\frac{33\pi}{4} = \frac{32\pi + \pi}{4} = 8\pi + \frac{\pi}{4} = 4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $cos(\frac{33\pi}{4}) = cos(4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) Функция синус является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$. Поэтому $sin(-\frac{19\pi}{6}) = -sin(\frac{19\pi}{6})$.
Теперь используем периодичность синуса. Выделим целое число полных периодов из аргумента:
$\frac{19\pi}{6} = \frac{12\pi + 7\pi}{6} = 2\pi + \frac{7\pi}{6}$.
Следовательно, $-sin(\frac{19\pi}{6}) = -sin(2\pi + \frac{7\pi}{6}) = -sin(\frac{7\pi}{6})$.
Используем формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$:
$-sin(\frac{7\pi}{6}) = -sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-sin(\frac{\pi}{6})) = sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$