Номер 604, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 604, страница 179.

Условие.

604. При каких значениях x верно равенство:

а) $sin x = 1$;

в) $sin x = -1$;

д) $cos x = 1$;

ж) $cos x = -1$;

б) $sin x = 0$;

г) $sin x = \frac{\pi}{2}$;

е) $cos x = 0$;

з) $cos x = -\pi$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Уравнение $\sin x = 1$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$ на единичной окружности. Так как синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно записать в виде $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Уравнение $\sin x = 0$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Синус равен нулю в точках, соответствующих углам $0$ и $\pi$ на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый промежуток в $\pi$. Таким образом, все решения можно объединить в одну серию: $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Уравнение $\sin x = -1$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности. Учитывая периодичность синуса ($2\pi$), общее решение имеет вид: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\sin x = \frac{\pi}{2}$ необходимо учитывать область значений функции синус. Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Найдем примерное значение числа $\frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$. Поскольку $1.57 > 1$, значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область значений синуса. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

д) Уравнение $\cos x = 1$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Косинус равен единице в точке, соответствующей углу $0$ (или $2\pi$) на единичной окружности. Учитывая, что косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, все решения уравнения записываются как $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Уравнение $\cos x = 0$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый промежуток в $\pi$. Таким образом, все решения можно записать в виде одной формулы: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Уравнение $\cos x = -1$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Косинус равен минус единице в точке, соответствующей углу $\pi$ на единичной окружности. Так как период косинуса равен $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид: $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Для решения уравнения $\cos x = -\pi$ необходимо рассмотреть область значений функции косинус. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значение $-\pi \approx -3.14$. Так как $-3.14 < -1$, значение $-\pi$ не принадлежит области значений косинуса. Таким образом, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.