Номер 599, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 599, страница 178.

Условие.

599. Используя периодичность тригонометрических функций, запишите значение функции так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом:

а) $ \sin \frac{41\pi}{7} $;

б) $ \cos \frac{23\pi}{8} $;

в) $ \sin \left(-\frac{27\pi}{8}\right) $;

г) $ \cos \left(-\frac{37\pi}{4}\right) $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Основное свойство периодичности для функций синуса и косинуса заключается в том, что их значения повторяются через каждый интервал $2\pi$. Это выражается формулами $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ и $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$. Также мы будем использовать свойства четности и нечетности: $cos(-x) = cos(x)$ (четная функция) и $sin(-x) = -sin(x)$ (нечетная функция), и формулы приведения.

Цель — представить каждое выражение так, чтобы угол (аргумент) был наименьшим возможным положительным числом, как правило, в интервале $(0, \frac{\pi}{2}]$.

а) Дано выражение $sin(\frac{41\pi}{7})$.
Период функции синус равен $2\pi$. Представим $2\pi$ со знаменателем 7: $2\pi = \frac{14\pi}{7}$.
Найдем, сколько полных периодов содержится в угле $\frac{41\pi}{7}$. Для этого представим $\frac{41\pi}{7}$ в виде, близком к кратному $2\pi$.
$\frac{41\pi}{7} = \frac{42\pi - \pi}{7} = \frac{42\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = 6\pi - \frac{\pi}{7} = 3 \cdot (2\pi) - \frac{\pi}{7}$.
Используя периодичность, отбросим полные обороты $3 \cdot (2\pi)$:
$sin(\frac{41\pi}{7}) = sin(6\pi - \frac{\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7})$.
Так как синус — функция нечетная ($sin(-x) = -sin(x)$), получаем:
$sin(-\frac{\pi}{7}) = -sin(\frac{\pi}{7})$.
Аргумент $\frac{\pi}{7}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-sin(\frac{\pi}{7})$.

б) Дано выражение $cos(\frac{23\pi}{8})$.
Период функции косинус равен $2\pi$. Представим $2\pi$ со знаменателем 8: $2\pi = \frac{16\pi}{8}$.
Выделим из угла $\frac{23\pi}{8}$ целое число периодов.
$\frac{23\pi}{8} = \frac{16\pi + 7\pi}{8} = \frac{16\pi}{8} + \frac{7\pi}{8} = 2\pi + \frac{7\pi}{8}$.
Используя периодичность, получаем:
$cos(\frac{23\pi}{8}) = cos(2\pi + \frac{7\pi}{8}) = cos(\frac{7\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ можно уменьшить, используя формулы приведения. Представим $\frac{7\pi}{8}$ как $\pi - \frac{\pi}{8}$.
$cos(\frac{7\pi}{8}) = cos(\pi - \frac{\pi}{8})$.
По формуле приведения $cos(\pi - x) = -cos(x)$, имеем:
$cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -cos(\frac{\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-cos(\frac{\pi}{8})$.

в) Дано выражение $sin(-\frac{27\pi}{8})$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(-x) = -sin(x)$:
$sin(-\frac{27\pi}{8}) = -sin(\frac{27\pi}{8})$.
Теперь упростим аргумент $\frac{27\pi}{8}$, используя период $2\pi = \frac{16\pi}{8}$.
$\frac{27\pi}{8} = \frac{16\pi + 11\pi}{8} = 2\pi + \frac{11\pi}{8}$.
Следовательно:
$-sin(\frac{27\pi}{8}) = -sin(2\pi + \frac{11\pi}{8}) = -sin(\frac{11\pi}{8})$.
Чтобы получить наименьший положительный аргумент, используем формулу приведения. Представим $\frac{11\pi}{8}$ как $\pi + \frac{3\pi}{8}$.
$-sin(\frac{11\pi}{8}) = -sin(\pi + \frac{3\pi}{8})$.
По формуле приведения $sin(\pi + x) = -sin(x)$, имеем:
$-sin(\pi + \frac{3\pi}{8}) = -(-sin(\frac{3\pi}{8})) = sin(\frac{3\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $sin(\frac{3\pi}{8})$.

г) Дано выражение $cos(-\frac{37\pi}{4})$.
Так как косинус — четная функция, $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(-\frac{37\pi}{4}) = cos(\frac{37\pi}{4})$.
Упростим аргумент $\frac{37\pi}{4}$, используя период $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.
Найдем, сколько раз $8\pi$ содержится в $37\pi$: $37\pi = 4 \cdot 8\pi + 5\pi = 32\pi + 5\pi$.
$\frac{37\pi}{4} = \frac{32\pi + 5\pi}{4} = \frac{32\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 8\pi + \frac{5\pi}{4}$.
Используя периодичность, отбросим $8\pi = 4 \cdot (2\pi)$:
$cos(\frac{37\pi}{4}) = cos(8\pi + \frac{5\pi}{4}) = cos(\frac{5\pi}{4})$.
Для получения наименьшего положительного аргумента используем формулы приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4})$.
По формуле приведения $cos(\pi + x) = -cos(x)$, имеем:
$cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4})$.
Аргумент $\frac{\pi}{4}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-cos(\frac{\pi}{4})$.