Номер 599, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-424-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 9 классе

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 599, страница 178.

№599 (с. 178)
Условие. №599 (с. 178)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 178, номер 599, Условие

599. Используя периодичность тригонометрических функций, запишите значение функции так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом:

а) $ \sin \frac{41\pi}{7} $;

б) $ \cos \frac{23\pi}{8} $;

в) $ \sin \left(-\frac{27\pi}{8}\right) $;

г) $ \cos \left(-\frac{37\pi}{4}\right) $.

Решение. №599 (с. 178)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 178, номер 599, Решение Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 178, номер 599, Решение (продолжение 2)
Решение 2 (rus). №599 (с. 178)

Основное свойство периодичности для функций синуса и косинуса заключается в том, что их значения повторяются через каждый интервал $2\pi$. Это выражается формулами $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ и $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$. Также мы будем использовать свойства четности и нечетности: $cos(-x) = cos(x)$ (четная функция) и $sin(-x) = -sin(x)$ (нечетная функция), и формулы приведения.

Цель — представить каждое выражение так, чтобы угол (аргумент) был наименьшим возможным положительным числом, как правило, в интервале $(0, \frac{\pi}{2}]$.

а) Дано выражение $sin(\frac{41\pi}{7})$.
Период функции синус равен $2\pi$. Представим $2\pi$ со знаменателем 7: $2\pi = \frac{14\pi}{7}$.
Найдем, сколько полных периодов содержится в угле $\frac{41\pi}{7}$. Для этого представим $\frac{41\pi}{7}$ в виде, близком к кратному $2\pi$.
$\frac{41\pi}{7} = \frac{42\pi - \pi}{7} = \frac{42\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = 6\pi - \frac{\pi}{7} = 3 \cdot (2\pi) - \frac{\pi}{7}$.
Используя периодичность, отбросим полные обороты $3 \cdot (2\pi)$:
$sin(\frac{41\pi}{7}) = sin(6\pi - \frac{\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7})$.
Так как синус — функция нечетная ($sin(-x) = -sin(x)$), получаем:
$sin(-\frac{\pi}{7}) = -sin(\frac{\pi}{7})$.
Аргумент $\frac{\pi}{7}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-sin(\frac{\pi}{7})$.

б) Дано выражение $cos(\frac{23\pi}{8})$.
Период функции косинус равен $2\pi$. Представим $2\pi$ со знаменателем 8: $2\pi = \frac{16\pi}{8}$.
Выделим из угла $\frac{23\pi}{8}$ целое число периодов.
$\frac{23\pi}{8} = \frac{16\pi + 7\pi}{8} = \frac{16\pi}{8} + \frac{7\pi}{8} = 2\pi + \frac{7\pi}{8}$.
Используя периодичность, получаем:
$cos(\frac{23\pi}{8}) = cos(2\pi + \frac{7\pi}{8}) = cos(\frac{7\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ можно уменьшить, используя формулы приведения. Представим $\frac{7\pi}{8}$ как $\pi - \frac{\pi}{8}$.
$cos(\frac{7\pi}{8}) = cos(\pi - \frac{\pi}{8})$.
По формуле приведения $cos(\pi - x) = -cos(x)$, имеем:
$cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -cos(\frac{\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-cos(\frac{\pi}{8})$.

в) Дано выражение $sin(-\frac{27\pi}{8})$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(-x) = -sin(x)$:
$sin(-\frac{27\pi}{8}) = -sin(\frac{27\pi}{8})$.
Теперь упростим аргумент $\frac{27\pi}{8}$, используя период $2\pi = \frac{16\pi}{8}$.
$\frac{27\pi}{8} = \frac{16\pi + 11\pi}{8} = 2\pi + \frac{11\pi}{8}$.
Следовательно:
$-sin(\frac{27\pi}{8}) = -sin(2\pi + \frac{11\pi}{8}) = -sin(\frac{11\pi}{8})$.
Чтобы получить наименьший положительный аргумент, используем формулу приведения. Представим $\frac{11\pi}{8}$ как $\pi + \frac{3\pi}{8}$.
$-sin(\frac{11\pi}{8}) = -sin(\pi + \frac{3\pi}{8})$.
По формуле приведения $sin(\pi + x) = -sin(x)$, имеем:
$-sin(\pi + \frac{3\pi}{8}) = -(-sin(\frac{3\pi}{8})) = sin(\frac{3\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $sin(\frac{3\pi}{8})$.

г) Дано выражение $cos(-\frac{37\pi}{4})$.
Так как косинус — четная функция, $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(-\frac{37\pi}{4}) = cos(\frac{37\pi}{4})$.
Упростим аргумент $\frac{37\pi}{4}$, используя период $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.
Найдем, сколько раз $8\pi$ содержится в $37\pi$: $37\pi = 4 \cdot 8\pi + 5\pi = 32\pi + 5\pi$.
$\frac{37\pi}{4} = \frac{32\pi + 5\pi}{4} = \frac{32\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 8\pi + \frac{5\pi}{4}$.
Используя периодичность, отбросим $8\pi = 4 \cdot (2\pi)$:
$cos(\frac{37\pi}{4}) = cos(8\pi + \frac{5\pi}{4}) = cos(\frac{5\pi}{4})$.
Для получения наименьшего положительного аргумента используем формулы приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4})$.
По формуле приведения $cos(\pi + x) = -cos(x)$, имеем:
$cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4})$.
Аргумент $\frac{\pi}{4}$ является наименьшим положительным числом.
Ответ: $-cos(\frac{\pi}{4})$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 599 расположенного на странице 178 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №599 (с. 178), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.