Номер 596, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 596, страница 177.

Условие.

596. Какие из чисел 0,9; -1; $\frac{\pi}{3}$; $\frac{3}{\pi}$ могут быть значениями функций $y = \sin x, y = \cos x$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Областью значений тригонометрических функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значения синуса и косинуса должны удовлетворять двойному неравенству: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, какие из предложенных чисел принадлежат этому отрезку.

0,9

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,9 \le 1$. Неравенство верно, так как 0,9 больше -1 и меньше 1. Следовательно, число 0,9 может быть значением функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$.

Ответ: может быть.

-1

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -1 \le 1$. Неравенство верно. Число -1 является наименьшим значением, которое могут принимать функции синуса и косинуса. Например, $\cos(\pi) = -1$.

Ответ: может быть.

$\frac{\pi}{3}$

Чтобы проверить это число, оценим его значение. Мы знаем, что число $\pi$ (пи) приблизительно равно 3,14159. Таким образом, $\pi > 3$.

Отсюда следует, что $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.

Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ больше 1, оно не входит в отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, это число не может быть значением функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$.

Ответ: не может быть.

$\frac{3}{\pi}$

Оценим значение этого числа. Так как $\pi > 3$, знаменатель дроби больше числителя. Это означает, что дробь меньше 1. Также очевидно, что она положительна.

Таким образом, $0 < \frac{3}{\pi} < 1$.

Поскольку значение $\frac{3}{\pi}$ находится в интервале $(0, 1)$, оно принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, это число может быть значением функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$.

Ответ: может быть.