Номер 593, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 593, страница 171.

Условие.

593. Докажите, что для любого действительного числа x верно неравенство:

a) $\sin^2 x - 5\sin x + 4 \ge 0;$

б) $\cos^4 x - 6\cos^2 x + 5 \ge 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Введем замену переменной $t = \sin x$. Поскольку для любого действительного числа $x$ выполняется $-1 \leq \sin x \leq 1$, то для новой переменной $t$ справедливо ограничение $-1 \leq t \leq 1$. Исходное неравенство $\sin^2 x - 5\sin x + 4 \geq 0$ принимает вид $t^2 - 5t + 4 \geq 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = t^2 - 5t + 4$. Найдем ее корни, решив уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Так как парабола $y = t^2 - 5t + 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 - 5t + 4 \geq 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $-1 \leq t \leq 1$. Найдем пересечение множества решений неравенства с областью допустимых значений для $t$: $( (-\infty, 1] \cup [4, \infty) ) \cap [-1, 1] = [-1, 1]$.

Это означает, что для всех допустимых значений $t$, которые может принимать $\sin x$, неравенство $t^2 - 5t + 4 \geq 0$ является верным. Следовательно, исходное неравенство $\sin^2 x - 5\sin x + 4 \geq 0$ верно для любого действительного числа $x$. Ответ:

б) Введем замену переменной $t = \cos^2 x$. Поскольку для любого действительного числа $x$ выполняется $-1 \leq \cos x \leq 1$, то для $t = \cos^2 x$ справедливо ограничение $0 \leq t \leq 1$. Исходное неравенство $\cos^4 x - 6\cos^2 x + 5 \geq 0$ является биквадратным относительно $\cos x$ и после замены принимает вид $t^2 - 6t + 5 \geq 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $g(t) = t^2 - 6t + 5$. Найдем ее корни, решив уравнение $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Так как парабола $y = t^2 - 6t + 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 - 6t + 5 \geq 0$ выполняется при $t \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

Учтем ограничение на переменную $t$: $0 \leq t \leq 1$. Найдем пересечение множества решений неравенства с областью допустимых значений для $t$: $( (-\infty, 1] \cup [5, \infty) ) \cap [0, 1] = [0, 1]$.

Это означает, что для всех допустимых значений $t$, которые может принимать $\cos^2 x$, неравенство $t^2 - 6t + 5 \geq 0$ является верным. Следовательно, исходное неравенство $\cos^4 x - 6\cos^2 x + 5 \geq 0$ верно для любого действительного числа $x$. Ответ: