Номер 589, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 589, страница 170.

Условие.

589. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $1 + \cos\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{3} + \cos^3\frac{\pi}{3} + \dots$;

б) $1 - \sin\frac{\pi}{4} + \sin^2\frac{\pi}{4} - \sin^3\frac{\pi}{4} + \dots$;

в) $1 + \text{tg}\frac{\pi}{6} + \text{tg}^2\frac{\pi}{6} + \text{tg}^3\frac{\pi}{6} + \dots$;

г) $1 - \text{ctg}\frac{\pi}{3} + \text{ctg}^2\frac{\pi}{3} - \text{ctg}^3\frac{\pi}{3} + \dots$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данный ряд $1 + \cos\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{3} + \cos^3\frac{\pi}{3} + \dots$ является бесконечной геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{\cos(\pi/3)}{1} = \cos\frac{\pi}{3}$. Вычислим значение косинуса: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $q = \frac{1}{2}$. Условие сходимости для бесконечной геометрической прогрессии $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Сумма такой прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения $b_1$ и $q$: $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$. Ответ: 2

б) Данный ряд $1 - \sin\frac{\pi}{4} + \sin^2\frac{\pi}{4} - \sin^3\frac{\pi}{4} + \dots$ является бесконечной геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-\sin(\pi/4)}{1} = -\sin\frac{\pi}{4}$. Вычислим значение синуса: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $q = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|-\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Сумма прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения $b_1$ и $q$: $S = \frac{1}{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2+\sqrt{2}}$. Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{2(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2(2-\sqrt{2})}{4-2} = \frac{2(2-\sqrt{2})}{2} = 2-\sqrt{2}$. Ответ: $2-\sqrt{2}$

в) Данный ряд $1 + \tg\frac{\pi}{6} + \tg^2\frac{\pi}{6} + \tg^3\frac{\pi}{6} + \dots$ является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \tg\frac{\pi}{6}$. Вычислим значение тангенса: $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Таким образом, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{\sqrt{3}}{3}| < 1$. Сумма прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения: $S = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{3-\sqrt{3}}$. Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{3(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{6} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

г) Данный ряд $1 - \ctg\frac{\pi}{3} + \ctg^2\frac{\pi}{3} - \ctg^3\frac{\pi}{3} + \dots$ является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = -\ctg\frac{\pi}{3}$. Вычислим значение котангенса: $\ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Таким образом, $q = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|-\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$. Сумма прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения: $S = \frac{1}{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{3+\sqrt{3}}$. Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{3(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$