Номер 584, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 584, страница 169.

Условие.

584. Отметьте на координатной окружности множество точек $B_{\alpha}$ и запишите все значения $\alpha$, удовлетворяющие условию:

а) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin \alpha \le -\frac{1}{2}$;

б) $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$;

г) $\cos \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

На координатной (единичной) окружности значение синуса угла $\alpha$ соответствует ординате (координате y) точки $B_\alpha$. Таким образом, нам нужно найти точки на окружности, у которых ордината равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для этого проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта прямая пересечет окружность в двух точках, расположенных в III и IV координатных четвертях.

Точке в IV четверти соответствует угол $\alpha_1 = -\frac{\pi}{4}$.

Точке в III четверти соответствует угол $\alpha_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$ или $\alpha_2 = -\frac{3\pi}{4}$.

Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все значения $\alpha$, удовлетворяющие условию, можно записать в виде двух серий решений:

$\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (что эквивалентно $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$)

Эти две серии можно объединить в одну формулу: $\alpha = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad \alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{2} $

Значение косинуса угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате x) точки $B_\alpha$ на координатной окружности. Нам нужно найти точки на окружности с абсциссой, равной $-\frac{1}{2}$.

Проведем вертикальную прямую $x = -\frac{1}{2}$. Она пересечет окружность в двух точках, расположенных во II и III координатных четвертях.

Точке во II четверти соответствует угол $\alpha_1 = \frac{2\pi}{3}$.

Точке в III четверти соответствует угол $\alpha_2 = \frac{4\pi}{3}$ или $\alpha_2 = -\frac{2\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции косинуса, общее решение можно записать в виде:

$\alpha = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $ \sin \alpha \le -\frac{1}{2} $

Нам нужно найти на координатной окружности все точки $B_\alpha$, ордината которых меньше или равна $-\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$, включая концы дуги.

Сначала найдем граничные точки, решив уравнение $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$.

Решениями являются углы $\alpha_1 = -\frac{\pi}{6}$ (в IV четверти) и $\alpha_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$ (в III четверти). Угол $\frac{7\pi}{6}$ также можно записать как $-\frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $\sin \alpha \le -\frac{1}{2}$ удовлетворяют все углы $\alpha$, расположенные на дуге от точки $-\frac{5\pi}{6}$ до точки $-\frac{\pi}{6}$ при движении против часовой стрелки.

С учетом периодичности, получаем решение в виде двойного неравенства:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \alpha \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\alpha \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $ \cos \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Нам нужно найти на координатной окружности все точки $B_\alpha$, абсцисса которых строго больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, не включая концы дуги.

Найдем граничные точки из уравнения $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями являются углы $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ (в I четверти) и $\alpha_2 = -\frac{\pi}{4}$ (в IV четверти).

Неравенству $\cos \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют все углы $\alpha$, расположенные на дуге между точками $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$.

С учетом периодичности, решение записывается в виде строгого двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\alpha \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$.