Номер 581, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 581, страница 169.

Условие.

581. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) $2\cos \alpha$;

б) $\sin \alpha - 1$;

в) $3 + \cos \alpha$;

г) $4 - 2\sin \alpha$;

д) $\sin^2\alpha + 1$;

е) $-5\cos \alpha + 2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $2\cos \alpha$, воспользуемся тем, что область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1.

Для любого угла $\alpha$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на положительное число 2. Знаки неравенства при этом не изменятся:

$2 \cdot (-1) \le 2\cos \alpha \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\cos \alpha \le 2$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее – 2.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $\sin \alpha - 1$, используем свойство ограниченности функции синус.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le \sin \alpha - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le \sin \alpha - 1 \le 0$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее – 0.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 0.

в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения $3 + \cos \alpha$ воспользуемся свойством ограниченности функции косинус.

Известно, что $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 + (-1) \le 3 + \cos \alpha \le 3 + 1$

$2 \le 3 + \cos \alpha \le 4$

Значит, наименьшее значение выражения равно 2, а наибольшее – 4.

Ответ: наименьшее значение: 2, наибольшее значение: 4.

г) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $4 - 2\sin \alpha$, начнем с области значений синуса.

Мы знаем, что $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Сначала умножим неравенство на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-2) \cdot 1 \le -2\sin \alpha \le (-2) \cdot (-1)$

$-2 \le -2\sin \alpha \le 2$

Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 - 2 \le 4 - 2\sin \alpha \le 4 + 2$

$2 \le 4 - 2\sin \alpha \le 6$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 2, а наибольшее – 6.

Ответ: наименьшее значение: 2, наибольшее значение: 6.

д) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения $\sin^2 \alpha + 1$ определим область значений $\sin^2 \alpha$.

Так как $-1 \le \sin \alpha \le 1$, то при возведении в квадрат значения будут неотрицательными. Наименьшее значение будет 0 (когда $\sin \alpha = 0$), а наибольшее 1 (когда $\sin \alpha = \pm1$).

Следовательно, $0 \le \sin^2 \alpha \le 1$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$0 + 1 \le \sin^2 \alpha + 1 \le 1 + 1$

$1 \le \sin^2 \alpha + 1 \le 2$

Наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее – 2.

Ответ: наименьшее значение: 1, наибольшее значение: 2.

е) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения $-5\cos \alpha + 2$ используем область значений косинуса.

Мы знаем, что $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Умножим неравенство на -5. Знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-5) \cdot 1 \le -5\cos \alpha \le (-5) \cdot (-1)$

$-5 \le -5\cos \alpha \le 5$

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-5 + 2 \le -5\cos \alpha + 2 \le 5 + 2$

$-3 \le -5\cos \alpha + 2 \le 7$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее – 7.

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 7.