Номер 575, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 575, страница 168.

Условие.

575. Вычислите:

a) $ \cos \pi + \tg^2(3\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\sin(-\frac{\pi}{6}); $

б) $ 1,5\tg^2(-\frac{\pi}{6}) - 0,5\ctg(4\pi + \frac{\pi}{4}) + \sin(\pi - \frac{\pi}{2}); $

в) $ 3\ctg(5\pi - \frac{\pi}{3}) - 4\sin^2(-\frac{\pi}{6}) - 2\cos(\pi - \frac{\pi}{6}); $

г) $ 0,5\tg^2(-\frac{\pi}{3}) - 3\tg 7\pi + 2\sin^2(3\pi - \frac{\pi}{3}). $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $cos \pi + tg^2(3\pi - \frac{\pi}{4}) + 2sin(-\frac{\pi}{6})$
Для решения данного выражения, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя тригонометрические тождества и формулы приведения.
1. Значение косинуса в точке $\pi$ равно: $cos \pi = -1$.
2. Упростим $tg^2(3\pi - \frac{\pi}{4})$. Используем периодичность тангенса ($T=\pi$), что позволяет отбросить $2\pi$: $tg(3\pi - \frac{\pi}{4}) = tg(\pi - \frac{\pi}{4})$. По формуле приведения $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$, поэтому $tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$. Возводим в квадрат: $tg^2(3\pi - \frac{\pi}{4}) = (-1)^2 = 1$.
3. Упростим $2sin(-\frac{\pi}{6})$. Синус является нечетной функцией, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Следовательно, $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Тогда $2sin(-\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
4. Сложим полученные значения: $-1 + 1 + (-1) = -1$.
Ответ: -1

б) $1,5tg^2(-\frac{\pi}{6}) - 0,5ctg(4\pi + \frac{\pi}{4}) + sin(\pi - \frac{\pi}{2})$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. Для $1,5tg^2(-\frac{\pi}{6})$ используем свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. $tg(-\frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $tg^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$. В итоге получаем $1,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} = 0,5$.
2. Для $0,5ctg(4\pi + \frac{\pi}{4})$ используем периодичность котангенса ($T=\pi$), что позволяет отбросить $4\pi$: $ctg(4\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Тогда $0,5ctg(4\pi + \frac{\pi}{4}) = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.
3. Для $sin(\pi - \frac{\pi}{2})$ используем формулу приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Получаем $sin(\pi - \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $0,5 - 0,5 + 1 = 1$.
Ответ: 1

в) $3ctg(5\pi - \frac{\pi}{3}) - 4sin^2(-\frac{\pi}{6}) - 2cos(\pi - \frac{\pi}{6})$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. Упростим $3ctg(5\pi - \frac{\pi}{3})$. Используя периодичность котангенса ($T=\pi$): $ctg(5\pi - \frac{\pi}{3}) = ctg(\pi - \frac{\pi}{3})$. По формуле приведения $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем $ctg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $3ctg(5\pi - \frac{\pi}{3}) = 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
2. Упростим $4sin^2(-\frac{\pi}{6})$. Синус — нечетная функция: $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Тогда $sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. В итоге получаем $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
3. Упростим $2cos(\pi - \frac{\pi}{6})$. По формуле приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем $cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $2cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.
4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $-\sqrt{3} - 1 - (-\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = -1$.
Ответ: -1

г) $0,5tg^2(-\frac{\pi}{3}) - 3tg(7\pi) + 2sin^2(3\pi - \frac{\pi}{3})$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. Упростим $0,5tg^2(-\frac{\pi}{3})$. Тангенс — нечетная функция: $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$. Тогда $tg^2(-\frac{\pi}{3}) = (-\sqrt{3})^2 = 3$. В итоге получаем $0,5 \cdot 3 = 1,5$.
2. Упростим $3tg(7\pi)$. Используя периодичность тангенса ($T=\pi$): $tg(7\pi) = tg(0) = 0$. Тогда $3 \cdot 0 = 0$.
3. Упростим $2sin^2(3\pi - \frac{\pi}{3})$. Используя периодичность синуса ($T=2\pi$): $sin(3\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3})$. По формуле приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$, получаем $sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $sin^2(3\pi - \frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. В итоге получаем $2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $1,5 - 0 + 1,5 = 3$.
Ответ: 3