Номер 572, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 572, страница 168.

Условие.

572. Упростите выражение:

а) $\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}$

б) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 + \sin \alpha} - \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное выражение: $ \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Так как у дробей общий знаменатель $ \cos \alpha $, вычтем числители:
$ \frac{(1 + \sin \alpha) - (1 - \sin \alpha)}{\cos \alpha} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{1 + \sin \alpha - 1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} $
Используя определение тангенса $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:
$ 2 \tan \alpha $
Ответ: $ 2 \tan \alpha $.

б) Исходное выражение: $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 + \sin \alpha} - \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} $.
Упростим каждую дробь по отдельности, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
Для первой дроби разложим числитель:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 + \sin \alpha} $.
Сократив дробь на $ (1 + \sin \alpha) $, получим $ 1 - \sin \alpha $.
Для второй дроби также разложим числитель:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} $.
Сократив дробь на $ (1 - \cos \alpha) $, получим $ 1 + \cos \alpha $.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходное и выполним вычитание:
$ (1 - \sin \alpha) - (1 + \cos \alpha) $
Раскроем скобки:
$ 1 - \sin \alpha - 1 - \cos \alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ -\sin \alpha - \cos \alpha $
Ответ: $ -\sin \alpha - \cos \alpha $.