Номер 570, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 570, страница 167.

Условие.

570. Верно ли, что:

а) $tg(-\alpha) \cdot ctg \alpha = -1$;

Б) $tg(-\alpha) - tg \alpha = 0$;

В) $ctg(-\alpha) + ctg \alpha = 0$;

Г) $tg(-\alpha) \cdot ctg(-\alpha) = 1?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим верность равенства $tg(-\alpha) \cdot ctg \alpha = -1$.
Используем свойство нечетности функции тангенс: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$tg(-\alpha) \cdot ctg \alpha = -tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1: $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$. Это тождество верно при условии, что угол $\alpha$ не равен $\frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число, так как при этих значениях тангенс или котангенс не определены.
Следовательно, $-tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = -1$.
Равенство верно для всех допустимых значений $\alpha$.
Ответ: верно.

б) Проверим верность равенства $tg(-\alpha) - tg \alpha = 0$.
Используем свойство нечетности тангенса: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Подставим в левую часть равенства:
$tg(-\alpha) - tg \alpha = -tg(\alpha) - tg(\alpha) = -2tg(\alpha)$.
Равенство $-2tg(\alpha) = 0$ будет верным только в том случае, если $tg(\alpha) = 0$, то есть при $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число.
В общем случае, для произвольного угла $\alpha$, это равенство не выполняется. Например, при $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $tg(\alpha) = 1$, и выражение равно $-2 \cdot 1 = -2$, что не равно 0.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) Проверим верность равенства $ctg(-\alpha) + ctg \alpha = 0$.
Используем свойство нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$ctg(-\alpha) + ctg \alpha = -ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$.
Это равенство является тождеством и выполняется для всех допустимых значений $\alpha$ (то есть при $\alpha \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число).
Ответ: верно.

г) Проверим верность равенства $tg(-\alpha) \cdot ctg(-\alpha) = 1$.
Используем свойства нечетности тангенса и котангенса: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$ и $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$tg(-\alpha) \cdot ctg(-\alpha) = (-tg(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) = tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$ для всех допустимых значений $\alpha$ (при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число).
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.