Номер 566, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 566, страница 167.

Условие.

566. Укажите три значения градусной меры угла $\alpha$, при которых

tg $\alpha$ равен:

а) 1;

б) $-1$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \text{tg } \alpha = 1 $, воспользуемся общей формулой для решения тригонометрических уравнений с тангенсом. Общее решение уравнения $ \text{tg } \alpha = a $ имеет вид $ \alpha = \text{arctg}(a) + 180^\circ \cdot n $, где $ n $ – любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).
В данном случае $ a = 1 $. Арктангенс единицы равен $ 45^\circ $, так как $ \text{tg } 45^\circ = 1 $.
Следовательно, общая формула для нахождения углов: $ \alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot n $.
Чтобы найти три конкретных значения, подставим вместо $ n $ любые три целых числа, например, 0, 1 и 2:
1. При $ n = 0 $: $ \alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 45^\circ $.
2. При $ n = 1 $: $ \alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot 1 = 225^\circ $.
3. При $ n = 2 $: $ \alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot 2 = 45^\circ + 360^\circ = 405^\circ $.
Можно также взять отрицательное значение $n$, например $ n = -1 $: $ \alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = -135^\circ $.
Ответ: $ 45^\circ, 225^\circ, 405^\circ $ (в качестве примера).

б) Для уравнения $ \text{tg } \alpha = -1 $ используем ту же общую формулу: $ \alpha = \text{arctg}(-1) + 180^\circ \cdot n $.
Арктангенс минус единицы равен $ -45^\circ $. Также можно использовать угол из второй четверти $ 135^\circ $, так как $ \text{tg } 135^\circ = -1 $. Возьмем $ 135^\circ $ для получения положительных углов при малых $ n $.
Общая формула: $ \alpha = 135^\circ + 180^\circ \cdot n $.
Найдем три значения для $ n = 0, 1, -1 $:
1. При $ n = 0 $: $ \alpha = 135^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 135^\circ $.
2. При $ n = 1 $: $ \alpha = 135^\circ + 180^\circ \cdot 1 = 315^\circ $.
3. При $ n = -1 $: $ \alpha = 135^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = 135^\circ - 180^\circ = -45^\circ $.
Ответ: $ 135^\circ, 315^\circ, -45^\circ $ (в качестве примера).

в) Для уравнения $ \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $ общая формула имеет вид: $ \alpha = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 180^\circ \cdot n $.
Арктангенс $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ равен $ 30^\circ $.
Общая формула: $ \alpha = 30^\circ + 180^\circ \cdot n $.
Найдем три значения для $ n = 0, 1, 2 $:
1. При $ n = 0 $: $ \alpha = 30^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 30^\circ $.
2. При $ n = 1 $: $ \alpha = 30^\circ + 180^\circ \cdot 1 = 210^\circ $.
3. При $ n = 2 $: $ \alpha = 30^\circ + 180^\circ \cdot 2 = 30^\circ + 360^\circ = 390^\circ $.
Ответ: $ 30^\circ, 210^\circ, 390^\circ $ (в качестве примера).

г) Для уравнения $ \text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ общая формула: $ \alpha = \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 180^\circ \cdot n $.
Арктангенс $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $ равен $ -30^\circ $. Также можно использовать угол из второй четверти $ 150^\circ $, так как $ \text{tg } 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Возьмем $ 150^\circ $.
Общая формула: $ \alpha = 150^\circ + 180^\circ \cdot n $.
Найдем три значения для $ n = 0, 1, -1 $:
1. При $ n = 0 $: $ \alpha = 150^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 150^\circ $.
2. При $ n = 1 $: $ \alpha = 150^\circ + 180^\circ \cdot 1 = 330^\circ $.
3. При $ n = -1 $: $ \alpha = 150^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = 150^\circ - 180^\circ = -30^\circ $.
Ответ: $ 150^\circ, 330^\circ, -30^\circ $ (в качестве примера).