Номер 561, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 561, страница 166.

Условие.

561. Расположите в порядке убывания:

a) $sin 3\pi, cos 5\pi, cos 6\pi;$

б) $cos \frac{15\pi}{2}, cos 17\pi, sin \frac{33\pi}{2};$

в) $sin \frac{\pi}{2}, ctg \frac{3\pi}{2}, cos \pi;$

г) $tg 21\pi, sin \frac{43\pi}{2}, cos 100\pi.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы расположить выражения в порядке убывания, необходимо вычислить значение каждого из них. Используем свойства периодичности тригонометрических функций. Период синуса и косинуса равен $2\pi$.
1. Вычислим $sin(3\pi)$. Так как $3\pi = \pi + 2\pi$, то $sin(3\pi) = sin(\pi + 2\pi) = sin(\pi) = 0$.
2. Вычислим $cos(5\pi)$. Так как $5\pi = \pi + 4\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi$, то $cos(5\pi) = cos(\pi) = -1$.
3. Вычислим $cos(6\pi)$. Так как $6\pi = 0 + 3 \cdot 2\pi$, то $cos(6\pi) = cos(0) = 1$.
Теперь сравним полученные значения: $1$, $0$ и $-1$. Очевидно, что $1 > 0 > -1$.
Следовательно, $cos(6\pi) > sin(3\pi) > cos(5\pi)$.
Ответ: $cos 6\pi, sin 3\pi, cos 5\pi$.

б) Вычислим значение каждого выражения, используя формулы приведения и периодичность.
1. Вычислим $cos(\frac{15\pi}{2})$. Представим $\frac{15\pi}{2}$ как $8\pi - \frac{\pi}{2}$ или $6\pi + \frac{3\pi}{2}$. $cos(\frac{15\pi}{2}) = cos(6\pi + \frac{3\pi}{2}) = cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
2. Вычислим $cos(17\pi)$. Представим $17\pi$ как $16\pi + \pi$. $cos(17\pi) = cos(16\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$.
3. Вычислим $sin(\frac{33\pi}{2})$. Представим $\frac{33\pi}{2}$ как $16\pi + \frac{\pi}{2}$. $sin(\frac{33\pi}{2}) = sin(16\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Сравниваем полученные значения: $1 > 0 > -1$.
Таким образом, $sin(\frac{33\pi}{2}) > cos(\frac{15\pi}{2}) > cos(17\pi)$.
Ответ: $sin\frac{33\pi}{2}, cos\frac{15\pi}{2}, cos 17\pi$.

в) Вычислим значения данных тригонометрических функций в указанных точках.
1. $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
2. $ctg(\frac{3\pi}{2}) = \frac{cos(\frac{3\pi}{2})}{sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$.
3. $cos(\pi) = -1$.
Сравниваем полученные значения: $1 > 0 > -1$.
Следовательно, $sin(\frac{\pi}{2}) > ctg(\frac{3\pi}{2}) > cos(\pi)$.
Ответ: $sin\frac{\pi}{2}, ctg\frac{3\pi}{2}, cos \pi$.

г) Вычислим значение каждого выражения.
1. Вычислим $tg(21\pi)$. Период тангенса равен $\pi$. $tg(21\pi) = tg(0 + 21\pi) = tg(0) = 0$.
2. Вычислим $sin(\frac{43\pi}{2})$. Представим $\frac{43\pi}{2}$ как $20\pi + \frac{3\pi}{2}$. $sin(\frac{43\pi}{2}) = sin(20\pi + \frac{3\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
3. Вычислим $cos(100\pi)$. Представим $100\pi$ как $50 \cdot 2\pi$. $cos(100\pi) = cos(0 + 50 \cdot 2\pi) = cos(0) = 1$.
Сравниваем полученные значения: $1 > 0 > -1$.
Таким образом, $cos(100\pi) > tg(21\pi) > sin(\frac{43\pi}{2})$.
Ответ: $cos 100\pi, tg 21\pi, sin\frac{43\pi}{2}$.