Номер 560, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 560, страница 166.

Условие.

560. Сравните тангенсы и котангенсы углов:

a) $15^\circ$, $375^\circ$, $735^\circ$;

б) $20^\circ$, $400^\circ$, $780^\circ$;

в) $100^\circ$, $120^\circ$, $140^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $15^\circ, 375^\circ, 735^\circ$

Для сравнения значений тригонометрических функций воспользуемся их периодичностью. Период тангенса и котангенса равен $180^\circ$, а значит и $360^\circ$ является периодом, так как $360^\circ = 2 \cdot 180^\circ$. Это свойство выражается формулами $ \tan(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \tan(\alpha) $ и $ \cot(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cot(\alpha) $ для любого целого числа $k$.

Приведем углы $375^\circ$ и $735^\circ$ к наименьшему положительному значению, вычитая полные обороты ($360^\circ$):

$375^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 15^\circ$

$735^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 15^\circ = 720^\circ + 15^\circ$

Из этого следует, что все три угла имеют одинаковые значения тангенса и котангенса, так как они все приводятся к углу $15^\circ$.

Следовательно, $\tan(15^\circ) = \tan(375^\circ) = \tan(735^\circ)$ и $\cot(15^\circ) = \cot(375^\circ) = \cot(735^\circ)$.

Ответ: $\tan(15^\circ) = \tan(375^\circ) = \tan(735^\circ)$; $\cot(15^\circ) = \cot(375^\circ) = \cot(735^\circ)$.

б) $20^\circ, 400^\circ, 780^\circ$

Сначала приведем углы к значениям в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, используя их периодичность:

$400^\circ = 360^\circ + 40^\circ$

$780^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 720^\circ + 60^\circ$

Таким образом, задача сводится к сравнению тангенсов и котангенсов углов $20^\circ, 40^\circ$ и $60^\circ$.

Сравнение тангенсов: Все три угла ($20^\circ, 40^\circ, 60^\circ$) принадлежат первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где функция $y = \tan(x)$ монотонно возрастает. Так как $20^\circ < 40^\circ < 60^\circ$, то выполняется неравенство $\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) < \tan(60^\circ)$. Подставляя исходные углы, получаем: $\tan(20^\circ) < \tan(400^\circ) < \tan(780^\circ)$.

Сравнение котангенсов: Все три угла также принадлежат первой четверти. На интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ функция $y = \cot(x)$ монотонно убывает. Так как $20^\circ < 40^\circ < 60^\circ$, то для котангенсов выполняется неравенство в обратном порядке: $\cot(20^\circ) > \cot(40^\circ) > \cot(60^\circ)$. Подставляя исходные углы, получаем: $\cot(20^\circ) > \cot(400^\circ) > \cot(780^\circ)$.

Ответ: $\tan(20^\circ) < \tan(400^\circ) < \tan(780^\circ)$; $\cot(20^\circ) > \cot(400^\circ) > \cot(780^\circ)$.

в) $100^\circ, 120^\circ, 140^\circ$

Все три угла ($100^\circ, 120^\circ, 140^\circ$) находятся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти значения тангенса и котангенса являются отрицательными.

Сравнение тангенсов: На интервале $(90^\circ, 180^\circ)$ функция $y = \tan(x)$ монотонно возрастает. Поскольку $100^\circ < 120^\circ < 140^\circ$, то и значения тангенсов этих углов будут располагаться в том же порядке (от большего отрицательного к меньшему отрицательному): $\tan(100^\circ) < \tan(120^\circ) < \tan(140^\circ)$.

Сравнение котангенсов: На интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, который включает вторую четверть, функция $y = \cot(x)$ монотонно убывает. Поскольку $100^\circ < 120^\circ < 140^\circ$, значения котангенсов будут находиться в обратном порядке: $\cot(100^\circ) > \cot(120^\circ) > \cot(140^\circ)$.

Ответ: $\tan(100^\circ) < \tan(120^\circ) < \tan(140^\circ)$; $\cot(100^\circ) > \cot(120^\circ) > \cot(140^\circ)$.