Номер 555, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 555, страница 166.

Условие.

555. Исследуйте, в какой четверти оканчивается угол $\alpha$, если:

а) $\sin \alpha > 0 \text{ и } \cos \alpha < 0$;

б) $\sin \alpha < 0 \text{ и } \cos \alpha > 0$;

в) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$;

г) $\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha < 0$;

д) $\sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha > 0$;

е) $\sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha < 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Если $\sin \alpha > 0$, то угол $\alpha$ оканчивается в I или II координатной четверти. Если $\cos \alpha < 0$, то угол $\alpha$ оканчивается во II или III четверти. Оба условия одновременно выполняются, когда угол $\alpha$ оканчивается во II четверти.

Ответ: II четверть.

б) Если $\sin \alpha < 0$, то угол $\alpha$ оканчивается в III или IV четверти. Если $\cos \alpha > 0$, то угол $\alpha$ оканчивается в I или IV четверти. Оба условия одновременно выполняются, когда угол $\alpha$ оканчивается в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

в) Произведение $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$ положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак.
1) $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Это соответствует I четверти.
2) $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. Это соответствует III четверти.
Следовательно, угол $\alpha$ оканчивается в I или III четверти.

Ответ: I или III четверть.

г) Упростим выражение, используя определение тангенса $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$tg \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$.
Таким образом, исходное неравенство $tg \alpha \cdot \cos \alpha < 0$ эквивалентно неравенству $\sin \alpha < 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях.

Ответ: III или IV четверть.

д) Упростим выражение, используя определение котангенса $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\sin \alpha \cdot ctg \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha$.
Таким образом, исходное неравенство $\sin \alpha \cdot ctg \alpha > 0$ эквивалентно неравенству $\cos \alpha > 0$. Косинус положителен в I и IV четвертях.

Ответ: I или IV четверть.

е) Произведение $\sin \alpha \cdot tg \alpha < 0$ отрицательно, когда множители имеют разные знаки.
1) $\sin \alpha > 0$ (I и II четверти) и $tg \alpha < 0$ (II и IV четверти). Одновременное выполнение соответствует II четверти.
2) $\sin \alpha < 0$ (III и IV четверти) и $tg \alpha > 0$ (I и III четверти). Одновременное выполнение соответствует III четверти.
Следовательно, угол $\alpha$ оканчивается во II или III четверти.
Альтернативное решение: $\sin \alpha \cdot tg \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0$. Так как числитель $\sin^2 \alpha \ge 0$ (и не равен 0 по условию), то для отрицательности дроби необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $\cos \alpha < 0$. Это условие выполняется во II и III четвертях.

Ответ: II или III четверть.