Номер 553, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 553, страница 165.

Условие.

553. Как меняется значение $ \cos \alpha $, если $ \alpha $ изменяется:

а) от 0 до $ \pi $;

б) от $ -\pi $ до 0?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы определить, как меняется значение $ \cos \alpha $, когда $ \alpha $ изменяется от $0$ до $ \pi $, рассмотрим единичную окружность. Значение $ \cos \alpha $ — это абсцисса (координата по оси x) точки на окружности, соответствующей углу $ \alpha $.
При $ \alpha = 0 $ точка находится в положении $(1, 0)$, поэтому $ \cos 0 = 1 $.
При увеличении угла $ \alpha $ от $0$ до $ \pi $ точка движется по верхней полуокружности против часовой стрелки.
В промежуточной точке $ \alpha = \pi/2 $ точка находится в положении $(0, 1)$, и $ \cos(\pi/2) = 0 $.
При $ \alpha = \pi $ точка достигает положения $(-1, 0)$, и $ \cos \pi = -1 $.
Таким образом, при изменении $ \alpha $ от $0$ до $ \pi $, абсцисса точки на единичной окружности монотонно уменьшается с $1$ до $-1$.
Ответ: значение $ \cos \alpha $ уменьшается от $1$ до $-1$.

б) Теперь рассмотрим, как меняется значение $ \cos \alpha $, когда $ \alpha $ изменяется от $ -\pi $ до $0$. Это соответствует движению по единичной окружности через нижнюю полуокружность.
При $ \alpha = -\pi $ (что соответствует той же точке, что и $ \alpha = \pi $) точка находится в положении $(-1, 0)$, поэтому $ \cos(-\pi) = -1 $.
При увеличении угла $ \alpha $ от $ -\pi $ до $0$ точка движется по нижней полуокружности против часовой стрелки.
В промежуточной точке $ \alpha = -\pi/2 $ точка находится в положении $(0, -1)$, и $ \cos(-\pi/2) = 0 $.
При $ \alpha = 0 $ точка достигает положения $(1, 0)$, и $ \cos 0 = 1 $.
Таким образом, при изменении $ \alpha $ от $ -\pi $ до $0$, абсцисса точки на единичной окружности монотонно возрастает с $-1$ до $1$.
Ответ: значение $ \cos \alpha $ возрастает от $-1$ до $1$.