Номер 546, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 546, страница 164.

Условие.

546. Может ли синус отрицательного угла быть положительным?
Если может, приведите пример.

Решение.

Решение 2 (rus).

Да, синус отрицательного угла может быть положительным.

Для того чтобы понять почему, можно воспользоваться двумя подходами.

1. Алгебраический подход. Функция синус является нечетной. Это означает, что для любого угла $ \alpha $ выполняется свойство: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.Чтобы значение $ \sin(-\alpha) $ было положительным, необходимо, чтобы выражение $ -\sin(\alpha) $ было больше нуля.$ -\sin(\alpha) > 0 $Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак, получим:$ \sin(\alpha) < 0 $Синус угла $ \alpha $ отрицателен, когда конечная сторона этого угла находится в III или IV координатной четверти. То есть, когда угол $ \alpha $ находится в интервале $ (180^\circ; 360^\circ) $ или, в радианах, $ (\pi; 2\pi) $. Если мы возьмем любой такой угол $ \alpha $ и поставим перед ним знак минус, то синус этого нового, отрицательного угла $ -\alpha $ будет положительным.

2. Геометрический подход (с помощью единичной окружности). Синус угла на единичной окружности — это ордината (координата y) точки, соответствующей этому углу. Положительные углы откладываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.Значение синуса (координата y) положительно в I и II координатных четвертях. Чтобы синус отрицательного угла был положительным, нам нужно, откладывая угол по часовой стрелке, попасть в I или II четверть.Это произойдет, если величина угла будет находиться в интервале $ (-360^\circ; -180^\circ) $. Например, угол $ -210^\circ $ откладывается по часовой стрелке и его конечная сторона попадает во II четверть, где ординаты всех точек положительны.

Пример:Возьмем отрицательный угол, равный $ -210^\circ $.Найдем его синус:$ \sin(-210^\circ) = \sin(-210^\circ + 360^\circ) = \sin(150^\circ) $Угол $ 150^\circ $ находится во II четверти, его синус положителен.$ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ или $ 0.5 $.Поскольку $ 0.5 > 0 $, синус отрицательного угла $ -210^\circ $ является положительным числом.

Ответ: Да, может. Например, $ \sin(-210^\circ) = 0.5 $.