Занимательные задачи 1, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - страница 157.

Условие.

1)

Механические часы показывают ровно 3 часа. Какой угол между стрелками часов будет через сутки и полчаса?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное состояние торговца в фунтах.

Согласно условию, каждый год торговец сначала тратил 100 фунтов, а затем увеличивал оставшуюся сумму на одну треть. Увеличение суммы на одну треть математически эквивалентно умножению на коэффициент $(1 + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$. Таким образом, состояние в конце каждого года вычисляется по формуле: (Состояние в начале года - 100) $\cdot \frac{4}{3}$.

Проследим изменение состояния торговца по годам:

Конец первого года:
Состояние в начале года — $x$. После траты 100 фунтов остается $x - 100$.
Новое состояние $C_1$ составит:$C_1 = (x - 100) \cdot \frac{4}{3}$

Конец второго года:
Состояние в начале года — $C_1$. После траты 100 фунтов остается $C_1 - 100$.
Новое состояние $C_2$ составит:$C_2 = (C_1 - 100) \cdot \frac{4}{3} = ((x - 100) \cdot \frac{4}{3} - 100) \cdot \frac{4}{3}$
$C_2 = (x-100) \cdot (\frac{4}{3})^2 - 100 \cdot \frac{4}{3}$

Конец третьего года:
Состояние в начале года — $C_2$. После траты 100 фунтов остается $C_2 - 100$.
Новое состояние $C_3$ составит:$C_3 = (C_2 - 100) \cdot \frac{4}{3} = ((x-100) \cdot (\frac{4}{3})^2 - 100 \cdot \frac{4}{3} - 100) \cdot \frac{4}{3}$
Раскроем скобки:$C_3 = (x-100) \cdot (\frac{4}{3})^3 - 100 \cdot (\frac{4}{3})^2 - 100 \cdot \frac{4}{3}$
Подставим значения:$C_3 = (x-100) \cdot \frac{64}{27} - 100 \cdot \frac{16}{9} - 100 \cdot \frac{4}{3}$
$C_3 = \frac{64}{27}x - \frac{6400}{27} - \frac{1600}{9} - \frac{400}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 27:$C_3 = \frac{64}{27}x - \frac{6400}{27} - \frac{4800}{27} - \frac{3600}{27} = \frac{64}{27}x - \frac{6400 + 4800 + 3600}{27}$
$C_3 = \frac{64}{27}x - \frac{14800}{27}$

По условию задачи, через три года состояние торговца удвоилось, то есть $C_3 = 2x$. Составим и решим уравнение:

$\frac{64}{27}x - \frac{14800}{27} = 2x$

Умножим обе части уравнения на 27, чтобы избавиться от знаменателя:
$64x - 14800 = 54x$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовое значение — в правую:
$64x - 54x = 14800$
$10x = 14800$

Разделим обе части на 10, чтобы найти $x$:
$x = \frac{14800}{10} = 1480$

Итак, первоначальное состояние торговца было 1480 фунтов. Проведем проверку:
Начальный капитал: 1480 фунтов.
1. После 1-го года: $(1480 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1380 \cdot \frac{4}{3} = 460 \cdot 4 = 1840$ фунтов.
2. После 2-го года: $(1840 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1740 \cdot \frac{4}{3} = 580 \cdot 4 = 2320$ фунтов.
3. После 3-го года: $(2320 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 2220 \cdot \frac{4}{3} = 740 \cdot 4 = 2960$ фунтов.
Проверяем, удвоился ли капитал: $1480 \cdot 2 = 2960$. Результаты совпадают, решение верное.

Ответ: у торговца вначале было 1480 фунтов.