Номер 539, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 539, страница 156.

Условие.

539. Известно, что $\beta = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдите такое значение $n$ (если оно существует), при котором угол $\beta$ равен:

а) $-\frac{5\pi}{3}$;

б) $\frac{13\pi}{3}$;

в) $-\frac{23\pi}{3}$;

г) $\frac{4\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти значение $n$, приравняем заданное значение угла $\beta$ к выражению из условия задачи. Затем решим полученное уравнение относительно $n$.
$\beta = -\frac{5\pi}{3}$
$-\frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Перенесем $\frac{\pi}{3}$ в левую часть уравнения:
$2\pi n = -\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$2\pi n = -\frac{6\pi}{3}$
$2\pi n = -2\pi$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы найти $n$:
$n = \frac{-2\pi}{2\pi} = -1$
Так как $n = -1$ является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), то такое значение $n$ существует.
Ответ: $n = -1$.

б) Аналогично пункту а), приравняем выражения и решим уравнение:
$\beta = \frac{13\pi}{3}$
$\frac{13\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Выразим $2\pi n$:
$2\pi n = \frac{13\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$2\pi n = \frac{12\pi}{3}$
$2\pi n = 4\pi$
Найдем $n$:
$n = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$
Так как $n = 2$ является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), то такое значение $n$ существует.
Ответ: $n = 2$.

в) Приравняем заданное значение угла $\beta$ к выражению из условия:
$\beta = -\frac{23\pi}{3}$
$-\frac{23\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Выразим $2\pi n$:
$2\pi n = -\frac{23\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$2\pi n = -\frac{24\pi}{3}$
$2\pi n = -8\pi$
Найдем $n$:
$n = \frac{-8\pi}{2\pi} = -4$
Так как $n = -4$ является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), то такое значение $n$ существует.
Ответ: $n = -4$.

г) Приравняем заданное значение угла $\beta$ к выражению из условия:
$\beta = \frac{4\pi}{3}$
$\frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Выразим $2\pi n$:
$2\pi n = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$2\pi n = \frac{3\pi}{3}$
$2\pi n = \pi$
Найдем $n$:
$n = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$
Так как $n = \frac{1}{2}$ не является целым числом ($n \notin \mathbb{Z}$), то такого целого значения $n$ не существует.
Ответ: не существует.