Вопросы, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - страница 164.

Условие.

1. Дайте определение: синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла.

2. Какие значения (положительные или отрицательные) принимают синус, косинус, тангенс и котангенс угла в координатных четвертях?

3. Для каких углов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса равны нулю?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение: синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла.

Тригонометрические функции произвольного угла $\alpha$ определяются с помощью единичной окружности в декартовой системе координат. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Возьмем на этой окружности точку $P(x,y)$, которая получается поворотом начальной точки $(1,0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки.
Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P$.
Формула: $\sin(\alpha) = y$.
Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$.
Формула: $\cos(\alpha) = x$.
Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса этого угла к его косинусу.
Формула: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}$, где $\cos(\alpha) \neq 0$.
Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение косинуса этого угла к его синусу.
Формула: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y}$, где $\sin(\alpha) \neq 0$.
Ответ: Синус угла – это ордината точки на единичной окружности, косинус – абсцисса. Тангенс – отношение синуса к косинусу, котангенс – отношение косинуса к синусу.

2. Какие значения (положительные или отрицательные) принимают синус, косинус, тангенс и котангенс угла в координатных четвертях?

Знаки тригонометрических функций зависят от знаков координат $x$ и $y$ в соответствующей координатной четверти.
I четверть (угол от $0^\circ$ до $90^\circ$): $x > 0$, $y > 0$.
$\sin(\alpha) > 0$ (положительный), $\cos(\alpha) > 0$ (положительный), $\tan(\alpha) > 0$ (положительный), $\cot(\alpha) > 0$ (положительный).
II четверть (угол от $90^\circ$ до $180^\circ$): $x < 0$, $y > 0$.
$\sin(\alpha) > 0$ (положительный), $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный).
III четверть (угол от $180^\circ$ до $270^\circ$): $x < 0$, $y < 0$.
$\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\tan(\alpha) > 0$ (положительный), $\cot(\alpha) > 0$ (положительный).
IV четверть (угол от $270^\circ$ до $360^\circ$): $x > 0$, $y < 0$.
$\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\cos(\alpha) > 0$ (положительный), $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный), $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный).
Ответ: В I четверти все функции положительны. Во II четверти положителен только синус. В III четверти положительны тангенс и котангенс. В IV четверти положителен только косинус.

3. Для каких углов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса равны нулю?

Значение тригонометрической функции равно нулю, когда числитель соответствующей дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Синус равен нулю, когда ордината $y=0$. Это происходит в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$ на единичной окружности, что соответствует углам:
$\alpha = \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Косинус равен нулю, когда абсцисса $x=0$. Это происходит в точках $(0,1)$ и $(0,-1)$ на единичной окружности, что соответствует углам:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Тангенс ($\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$) равен нулю, когда $\sin(\alpha)=0$ и $\cos(\alpha)\neq0$. Это условие выполняется при тех же углах, что и для синуса:
$\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Котангенс ($\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$) равен нулю, когда $\cos(\alpha)=0$ и $\sin(\alpha)\neq0$. Это условие выполняется при тех же углах, что и для косинуса:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\sin(\alpha)=0$ и $\tan(\alpha)=0$ при $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $\cos(\alpha)=0$ и $\cot(\alpha)=0$ при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.