Номер 545, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 545, страница 164.

Условие.

545. Постройте координатную окружность, взяв единичный отрезок, равный 2,5 см, отметьте на ней точки $B_\alpha$, соответствующие углам поворота $\alpha$. Найдите приближенные значения $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\text{tg} \alpha$ и $\text{ctg} \alpha$, если $\alpha$ равна:

a) 50°;

б) 155°;

в) -35°;

г) -170°.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала построим координатную окружность. В декартовой системе координат $xOy$ с центром в точке $O(0, 0)$ построим окружность. Согласно условию, единичный отрезок равен 2,5 см, значит, радиус нашей окружности $R$ будет равен 2,5 см. Эта окружность является моделью единичной тригонометрической окружности.

Любая точка $B_\alpha$ на единичной окружности, полученная поворотом начальной точки $B_0(1, 0)$ на угол $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Поскольку радиус нашей окружности равен 2,5, то координаты точки $B_\alpha$ на ней будут $(2.5 \cdot \cos \alpha, 2.5 \cdot \sin \alpha)$.

Чтобы найти приближенные значения тригонометрических функций, мы для каждого угла $\alpha$ будем выполнять следующие действия:

1. С помощью транспортира отложим от положительного направления оси $Ox$ угол $\alpha$. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.
2. Отметим точку $B_\alpha$ на пересечении стороны угла с окружностью.
3. Измерим линейкой абсциссу ($x_{см}$) и ординату ($y_{см}$) точки $B_\alpha$.
4. Вычислим значения тригонометрических функций по формулам:
   $\sin \alpha = \frac{y_{см}}{2.5}$
   $\cos \alpha = \frac{x_{см}}{2.5}$
   $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y_{см}}{x_{см}}$
   $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x_{см}}{y_{см}}$

Так как построение и измерение на практике вносят погрешность, мы приведем значения, которые должны получиться при достаточно точном измерении.

а) $\alpha = 50^\circ$

Откладываем угол $50^\circ$ против часовой стрелки. Точка $B_{50^\circ}$ находится в I координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Измерив координаты точки, мы получили бы примерно $x \approx 1.61$ см и $y \approx 1.92$ см.Вычисляем значения:$\sin 50^\circ \approx \frac{1.92}{2.5} \approx 0.77$$\cos 50^\circ \approx \frac{1.61}{2.5} \approx 0.64$$\tan 50^\circ \approx \frac{1.92}{1.61} \approx 1.19$$\cot 50^\circ \approx \frac{1.61}{1.92} \approx 0.84$
Ответ: $\sin 50^\circ \approx 0.77$, $\cos 50^\circ \approx 0.64$, $\tan 50^\circ \approx 1.19$, $\cot 50^\circ \approx 0.84$.

б) $\alpha = 155^\circ$

Откладываем угол $155^\circ$ против часовой стрелки. Точка $B_{155^\circ}$ находится во II координатной четверти, где $x < 0$ и $y > 0$. Измерив координаты точки, мы получили бы примерно $x \approx -2.27$ см и $y \approx 1.06$ см.Вычисляем значения:$\sin 155^\circ \approx \frac{1.06}{2.5} \approx 0.42$$\cos 155^\circ \approx \frac{-2.27}{2.5} \approx -0.91$$\tan 155^\circ \approx \frac{1.06}{-2.27} \approx -0.47$$\cot 155^\circ \approx \frac{-2.27}{1.06} \approx -2.14$
Ответ: $\sin 155^\circ \approx 0.42$, $\cos 155^\circ \approx -0.91$, $\tan 155^\circ \approx -0.47$, $\cot 155^\circ \approx -2.14$.

в) $\alpha = -35^\circ$

Откладываем угол $35^\circ$ по часовой стрелке. Точка $B_{-35^\circ}$ находится в IV координатной четверти, где $x > 0$ и $y < 0$. Измерив координаты точки, мы получили бы примерно $x \approx 2.05$ см и $y \approx -1.43$ см.Вычисляем значения:$\sin(-35^\circ) \approx \frac{-1.43}{2.5} \approx -0.57$$\cos(-35^\circ) \approx \frac{2.05}{2.5} \approx 0.82$$\tan(-35^\circ) \approx \frac{-1.43}{2.05} \approx -0.70$$\cot(-35^\circ) \approx \frac{2.05}{-1.43} \approx -1.43$
Ответ: $\sin(-35^\circ) \approx -0.57$, $\cos(-35^\circ) \approx 0.82$, $\tan(-35^\circ) \approx -0.70$, $\cot(-35^\circ) \approx -1.43$.

г) $\alpha = -170^\circ$

Откладываем угол $170^\circ$ по часовой стрелке. Точка $B_{-170^\circ}$ находится в III координатной четверти, где $x < 0$ и $y < 0$. Измерив координаты точки, мы получили бы примерно $x \approx -2.46$ см и $y \approx -0.43$ см.Вычисляем значения:$\sin(-170^\circ) \approx \frac{-0.43}{2.5} \approx -0.17$$\cos(-170^\circ) \approx \frac{-2.46}{2.5} \approx -0.98$$\tan(-170^\circ) \approx \frac{-0.43}{-2.46} \approx 0.17$$\cot(-170^\circ) \approx \frac{-2.46}{-0.43} \approx 5.72$
Ответ: $\sin(-170^\circ) \approx -0.17$, $\cos(-170^\circ) \approx -0.98$, $\tan(-170^\circ) \approx 0.17$, $\cot(-170^\circ) \approx 5.72$.