Номер 549, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 549, страница 165.

Условие.

549. Используя рисунок 63, найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $ угла $ \alpha $, равного:

а) -30°;

б) -45°;

в) -60°;

г) 210°;

д) 225°;

е) 240°.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Угол $\alpha = -30°$ лежит в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны. Используя формулы для отрицательных углов и табличные значения для 30°, находим:
$\sin(-30°) = -\sin(30°) = - \frac{1}{2}$
$\cos(-30°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg}(-30°) = -\operatorname{tg}(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatorname{ctg}(-30°) = -\operatorname{ctg}(30°) = -\sqrt{3}$
Ответ: $\sin(-30°) = - \frac{1}{2}$, $\cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg}(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{ctg}(-30°) = -\sqrt{3}$.

б) Угол $\alpha = -45°$ лежит в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
$\sin(-45°) = -\sin(45°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(-45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\operatorname{tg}(-45°) = -\operatorname{tg}(45°) = -1$
$\operatorname{ctg}(-45°) = -\operatorname{ctg}(45°) = -1$
Ответ: $\sin(-45°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(-45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg}(-45°) = -1$, $\operatorname{ctg}(-45°) = -1$.

в) Угол $\alpha = -60°$ лежит в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
$\sin(-60°) = -\sin(60°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$\operatorname{tg}(-60°) = -\operatorname{tg}(60°) = -\sqrt{3}$
$\operatorname{ctg}(-60°) = -\operatorname{ctg}(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin(-60°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(-60°) = \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg}(-60°) = -\sqrt{3}$, $\operatorname{ctg}(-60°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Угол $\alpha = 210°$ можно представить как $180° + 30°$. Он лежит в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Используем формулы приведения:
$\sin(210°) = \sin(180° + 30°) = -\sin(30°) = - \frac{1}{2}$
$\cos(210°) = \cos(180° + 30°) = -\cos(30°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg}(210°) = \operatorname{tg}(180° + 30°) = \operatorname{tg}(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatorname{ctg}(210°) = \operatorname{ctg}(180° + 30°) = \operatorname{ctg}(30°) = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(210°) = - \frac{1}{2}$, $\cos(210°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg}(210°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{ctg}(210°) = \sqrt{3}$.

д) Угол $\alpha = 225°$ можно представить как $180° + 45°$. Он лежит в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
$\sin(225°) = \sin(180° + 45°) = -\sin(45°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(225°) = \cos(180° + 45°) = -\cos(45°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\operatorname{tg}(225°) = \operatorname{tg}(180° + 45°) = \operatorname{tg}(45°) = 1$
$\operatorname{ctg}(225°) = \operatorname{ctg}(180° + 45°) = \operatorname{ctg}(45°) = 1$
Ответ: $\sin(225°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(225°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg}(225°) = 1$, $\operatorname{ctg}(225°) = 1$.

е) Угол $\alpha = 240°$ можно представить как $180° + 60°$. Он лежит в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
$\sin(240°) = \sin(180° + 60°) = -\sin(60°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(240°) = \cos(180° + 60°) = -\cos(60°) = - \frac{1}{2}$
$\operatorname{tg}(240°) = \operatorname{tg}(180° + 60°) = \operatorname{tg}(60°) = \sqrt{3}$
$\operatorname{ctg}(240°) = \operatorname{ctg}(180° + 60°) = \operatorname{ctg}(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin(240°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(240°) = - \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg}(240°) = \sqrt{3}$, $\operatorname{ctg}(240°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.