Номер 543, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 543, страница 164.

Условие.

543. Может ли при некотором значении $\alpha$ быть верным равенство:

a) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

б) $\cos \alpha = \frac{\pi}{3}$;

в) $\sin \alpha = 1 - \sqrt{2}$;

г) $\cos \alpha = \sqrt{3} - 2?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Основное тригонометрическое свойство гласит, что для любого угла $\alpha$ значение его синуса должно находиться в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.
Проверим, удовлетворяет ли значение $\frac{\sqrt{5}}{2}$ этому условию.
Для этого сравним его с 1. Мы знаем, что $4 < 5$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то есть $2 < \sqrt{5}$.
Разделим обе части неравенства на 2: $\frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2}$, что дает $1 < \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку значение $\frac{\sqrt{5}}{2}$ больше 1, оно выходит за пределы области значений функции синус. Следовательно, такое равенство невозможно.
Ответ: нет.

б) Значение косинуса любого угла $\alpha$ также должно находиться в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Рассмотрим значение $\frac{\pi}{3}$. Число $\pi$ является иррациональным и его приблизительное значение равно 3,14159...
Так как $\pi > 3$, то при делении на 3 мы получим значение, большее 1: $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3} = 1$.
Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ больше 1, оно выходит за пределы области значений функции косинус. Следовательно, такое равенство невозможно.
Ответ: нет.

в) Проверим, находится ли значение $1 - \sqrt{2}$ в интервале $[-1, 1]$.
Приблизительное значение $\sqrt{2}$ равно 1,414. Тогда $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$. Это значение лежит в пределах от -1 до 1.
Проведем строгое сравнение:
1. Сравним с 1: $1 - \sqrt{2} \le 1$. Это неравенство верно, так как $-\sqrt{2} \le 0$.
2. Сравним с -1: $1 - \sqrt{2} \ge -1$. Перенесем 1 в правую часть и $\sqrt{2}$ в левую (сменив знаки): $1+1 \ge \sqrt{2}$, то есть $2 \ge \sqrt{2}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $4 \ge 2$, что является верным неравенством.
Так как $-1 \le 1 - \sqrt{2} \le 1$, то данное значение принадлежит области значений синуса. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.

г) Проверим, находится ли значение $\sqrt{3} - 2$ в интервале $[-1, 1]$.
Приблизительное значение $\sqrt{3}$ равно 1,732. Тогда $\sqrt{3} - 2 \approx 1.732 - 2 = -0.268$. Это значение лежит в пределах от -1 до 1.
Проведем строгое сравнение:
1. Сравним с 1: $\sqrt{3} - 2 \le 1$. Перенесем 2 в правую часть: $\sqrt{3} \le 3$. Возведя обе части в квадрат, получаем $3 \le 9$, что верно.
2. Сравним с -1: $\sqrt{3} - 2 \ge -1$. Перенесем 2 в правую часть: $\sqrt{3} \ge 1$. Возведя обе части в квадрат, получаем $3 \ge 1$, что является верным неравенством.
Так как $-1 \le \sqrt{3} - 2 \le 1$, то данное значение принадлежит области значений косинуса. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.