Номер 540, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 540, страница 157.

Условие.

540. Колесо, радиус которого 0,6 м, делает в минуту 240 оборотов. Найдите:

а) его угловую скорость $\omega$ в радианах в секунду;

б) линейную скорость (в метрах в секунду) точки, находящейся на окружности колеса.

в) Докажите, что линейная скорость точки, отстоящей от центра на расстоянии $r$, равна $\omega r$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти угловую скорость $\omega$ в радианах в секунду, необходимо перевести частоту вращения из оборотов в минуту в радианы в секунду.
Колесо делает 240 оборотов за 1 минуту (60 секунд).
Сначала найдем частоту вращения $\nu$ в оборотах в секунду (Гц):
$\nu = \frac{240 \text{ оборотов}}{60 \text{ секунд}} = 4 \text{ об/с}$.
Один полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Угловая скорость $\omega$ связана с частотой $\nu$ соотношением:
$\omega = 2\pi\nu$.
Подставим значение частоты:
$\omega = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \text{ рад/с}$.
Ответ: $\omega = 8\pi \text{ рад/с}$.

б) Линейная скорость $v$ точки на окружности колеса связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом колеса $R$ следующей формулой:
$v = \omega R$.
Из условия задачи, радиус колеса $R = 0.6 \text{ м}$. Из пункта а) мы знаем, что угловая скорость $\omega = 8\pi \text{ рад/с}$.
Подставим эти значения в формулу:
$v = (8\pi \text{ рад/с}) \cdot (0.6 \text{ м}) = 4.8\pi \text{ м/с}$.
При желании можно рассчитать численное значение: $v \approx 4.8 \cdot 3.14159 \approx 15.08 \text{ м/с}$.
Ответ: $v = 4.8\pi \text{ м/с}$.

в) Докажем, что линейная скорость точки, отстоящей от центра на расстоянии $r$, равна $\omega r$.
Рассмотрим точку, которая движется по окружности радиуса $r$. За промежуток времени $t$ она проходит путь, равный длине дуги $s$, а радиус-вектор точки поворачивается на угол $\alpha$ (в радианах).
По определению, линейная скорость $v$ равна:
$v = \frac{s}{t}$.
Угловая скорость $\omega$ по определению равна:
$\omega = \frac{\alpha}{t}$.
Длина дуги окружности $s$ радиуса $r$ связана с центральным углом $\alpha$ (выраженным в радианах) формулой:
$s = \alpha \cdot r$.
Теперь подставим выражение для длины дуги $s$ в формулу для линейной скорости:
$v = \frac{\alpha \cdot r}{t}$.
Перегруппируем множители:
$v = \left(\frac{\alpha}{t}\right) \cdot r$.
Так как выражение в скобках $\frac{\alpha}{t}$ есть угловая скорость $\omega$, мы можем произвести замену:
$v = \omega \cdot r$.
Таким образом, формула доказана.
Ответ: Доказано, что линейная скорость точки, отстоящей от центра на расстоянии $r$, равна $v=\omega r$.