Номер 535, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 535, страница 156.

Условие.

535. Отметьте на окружности точки A, B, C, D так, чтобы радианные меры дуг AB, BC и CD были соответственно равны $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

Укажите величину дуги DA. Рассмотрите все возможные случаи расположения указанных точек.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения точек A, B, C, D на окружности. Положение точек зависит от направления, в котором откладываются дуги (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Пусть точка A является начальной. Будем считать откладывание дуги против часовой стрелки положительным направлением, а по часовой стрелке — отрицательным. Угловое положение точки D относительно A будет равно алгебраической сумме радианных мер дуг AB, BC и CD. Величина дуги DA — это наименьшая дуга между точками D и A.

Заданы меры дуг: $m(AB) = \frac{\pi}{2}$, $m(BC) = \frac{\pi}{4}$ и $m(CD) = \frac{3\pi}{4}$.

Случай 1: Все дуги откладываются в одном направлении (например, против часовой стрелки).

В этом случае точки на окружности располагаются последовательно: A, B, C, D. Суммарный угол от A до D равен сумме мер дуг:

$\alpha_D = m(AB) + m(BC) + m(CD) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

Угол $\frac{3\pi}{2}$ определяет положение точки D. Дуга DA — это дуга, дополняющая дугу AD до полной окружности ($2\pi$).

$m(DA) = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Этот же результат получится, если, например, дуга AB откладывается в одну сторону, а BC и CD в другую: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$. Положение точки D то же самое, и мера дуги DA равна $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

Случай 2: Дуги AB и CD откладываются в одном направлении, а дуга BC — в противоположном.

Рассчитаем итоговое положение точки D, например, для случая, когда AB и CD отложены против часовой стрелки, а BC — по часовой:

$\alpha_D = m(AB) - m(BC) + m(CD) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi - \pi + 3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$

В этом случае точка D оказывается диаметрально противоположной точке A. Дуга, соединяющая диаметрально противоположные точки, равна $\pi$.

Ответ: $\pi$

Случай 3: Дуги AB и BC откладываются в одном направлении, а дуга CD — в противоположном.

Рассчитаем итоговое положение точки D для этого случая (AB и BC против часовой стрелки, CD — по часовой):

$\alpha_D = m(AB) + m(BC) - m(CD) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi - 3\pi}{4} = 0$

Суммарное угловое смещение равно 0. Это означает, что точка D совпадает с исходной точкой A.

В этом случае длина дуги DA равна 0.

Ответ: 0

Проверка остальных комбинаций направлений показывает, что других значений для величины дуги DA не возникает. Таким образом, существует три возможных решения.