Номер 530, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 530, страница 155.

Условие.

530. Отметьте на единичной окружности точку $B_\beta$ и сравните с нулем ее координаты $x_\beta$ и $y_\beta$, если радианная мера угла $\beta$ равна:

а) $\frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{5\pi}{6}$;

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

г) $-\frac{\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для угла $\beta = \frac{\pi}{4}$.
На единичной окружности точка $B_\beta$ соответствует углу, отложенному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Угол $\beta = \frac{\pi}{4}$ находится в интервале $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, следовательно, точка $B_\beta$ расположена в первой координатной четверти.
В первой четверти обе координаты точки положительны: $x_\beta > 0$ и $y_\beta > 0$.
Найдем точные значения координат:
$x_\beta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_\beta = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Сравнивая с нулем, получаем $x_\beta > 0$ и $y_\beta > 0$.
Ответ: $x_\beta > 0, y_\beta > 0$.

б) Для угла $\beta = \frac{5\pi}{6}$.
Угол $\beta = \frac{5\pi}{6}$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$, следовательно, точка $B_\beta$ расположена во второй координатной четверти.
Во второй четверти абсцисса точки отрицательна ($x_\beta < 0$), а ордината положительна ($y_\beta > 0$).
Найдем точные значения координат:
$x_\beta = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y_\beta = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
Сравнивая с нулем, получаем $x_\beta < 0$ и $y_\beta > 0$.
Ответ: $x_\beta < 0, y_\beta > 0$.

в) Для угла $\beta = -\frac{3\pi}{4}$.
Отрицательный угол откладывается по часовой стрелке от положительного направления оси Ox. Угол $\beta = -\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $-\pi < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$, следовательно, точка $B_\beta$ расположена в третьей координатной четверти.
В третьей четверти обе координаты точки отрицательны: $x_\beta < 0$ и $y_\beta < 0$.
Найдем точные значения координат:
$x_\beta = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_\beta = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Сравнивая с нулем, получаем $x_\beta < 0$ и $y_\beta < 0$.
Ответ: $x_\beta < 0, y_\beta < 0$.

г) Для угла $\beta = -\frac{\pi}{3}$.
Угол $\beta = -\frac{\pi}{3}$ откладывается по часовой стрелке и находится в интервале $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < 0$, следовательно, точка $B_\beta$ расположена в четвертой координатной четверти.
В четвертой четверти абсцисса точки положительна ($x_\beta > 0$), а ордината отрицательна ($y_\beta < 0$).
Найдем точные значения координат:
$x_\beta = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y_\beta = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Сравнивая с нулем, получаем $x_\beta > 0$ и $y_\beta < 0$.
Ответ: $x_\beta > 0, y_\beta < 0$.