Номер 532, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 532, страница 155.

Условие.

532. Составьте таблицу соответствия градусной и радианной мер углов на $180^\circ$ больших, чем углы, указанные в задаче 531, и отметьте соответствующие точки на координатной окружности.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно взять углы из задачи 531, прибавить к каждому 180° и найти соответствующие радианные меры. Поскольку углы из задачи 531 не предоставлены, мы будем использовать стандартный набор углов, который обычно встречается в таких задачах, разделенный на две части (а и б).

Основное соотношение для перевода: $180° = \pi$ радиан.

а)

Найдем новые углы для первой группы исходных углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 135°, 150°, 180°.

Расчеты:

• $0° + 180° = 180°$; в радианах: $0 + \pi = \pi$
• $30° + 180° = 210°$; в радианах: $\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi + 6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$
• $45° + 180° = 225°$; в радианах: $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
• $60° + 180° = 240°$; в радианах: $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi + 3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
• $90° + 180° = 270°$; в радианах: $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi + 2\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
• $135° + 180° = 315°$; в радианах: $\frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi + 4\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$
• $150° + 180° = 330°$; в радианах: $\frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi + 6\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$
• $180° + 180° = 360°$ (или $0°$); в радианах: $\pi + \pi = 2\pi$ (или $0$)

Таблица соответствия:

Исходный угол: 0° ($0$ рад) → Новый угол: 180° ($\pi$ рад)

Исходный угол: 30° ($\frac{\pi}{6}$ рад) → Новый угол: 210° ($\frac{7\pi}{6}$ рад)

Исходный угол: 45° ($\frac{\pi}{4}$ рад) → Новый угол: 225° ($\frac{5\pi}{4}$ рад)

Исходный угол: 60° ($\frac{\pi}{3}$ рад) → Новый угол: 240° ($\frac{4\pi}{3}$ рад)

Исходный угол: 90° ($\frac{\pi}{2}$ рад) → Новый угол: 270° ($\frac{3\pi}{2}$ рад)

Исходный угол: 135° ($\frac{3\pi}{4}$ рад) → Новый угол: 315° ($\frac{7\pi}{4}$ рад)

Исходный угол: 150° ($\frac{5\pi}{6}$ рад) → Новый угол: 330° ($\frac{11\pi}{6}$ рад)

Исходный угол: 180° ($\pi$ рад) → Новый угол: 360° или 0° ($2\pi$ или $0$ рад)

Ответ: Таблица соответствия для первой группы углов составлена выше.

б)

Найдем новые углы для второй группы исходных углов: 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Расчеты (приводим углы к диапазону [0°, 360°)):

• $210° + 180° = 390° \equiv 30°$; в радианах: $\frac{7\pi}{6} + \pi = \frac{13\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{6}$
• $225° + 180° = 405° \equiv 45°$; в радианах: $\frac{5\pi}{4} + \pi = \frac{9\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{4}$
• $240° + 180° = 420° \equiv 60°$; в радианах: $\frac{4\pi}{3} + \pi = \frac{7\pi}{3} \equiv \frac{\pi}{3}$
• $270° + 180° = 450° \equiv 90°$; в радианах: $\frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2}$
• $300° + 180° = 480° \equiv 120°$; в радианах: $\frac{5\pi}{3} + \pi = \frac{8\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}$
• $315° + 180° = 495° \equiv 135°$; в радианах: $\frac{7\pi}{4} + \pi = \frac{11\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{4}$
• $330° + 180° = 510° \equiv 150°$; в радианах: $\frac{11\pi}{6} + \pi = \frac{17\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6}$
• $360° + 180° = 540° \equiv 180°$; в радианах: $2\pi + \pi = 3\pi \equiv \pi$

Таблица соответствия:

Исходный угол: 210° ($\frac{7\pi}{6}$ рад) → Новый угол: 30° ($\frac{\pi}{6}$ рад)

Исходный угол: 225° ($\frac{5\pi}{4}$ рад) → Новый угол: 45° ($\frac{\pi}{4}$ рад)

Исходный угол: 240° ($\frac{4\pi}{3}$ рад) → Новый угол: 60° ($\frac{\pi}{3}$ рад)

Исходный угол: 270° ($\frac{3\pi}{2}$ рад) → Новый угол: 90° ($\frac{\pi}{2}$ рад)

Исходный угол: 300° ($\frac{5\pi}{3}$ рад) → Новый угол: 120° ($\frac{2\pi}{3}$ рад)

Исходный угол: 315° ($\frac{7\pi}{4}$ рад) → Новый угол: 135° ($\frac{3\pi}{4}$ рад)

Исходный угол: 330° ($\frac{11\pi}{6}$ рад) → Новый угол: 150° ($\frac{5\pi}{6}$ рад)

Исходный угол: 360° ($2\pi$ рад) → Новый угол: 180° ($\pi$ рад)

Ответ: Таблица соответствия для второй группы углов составлена выше.

Отметка точек на координатной окружности

Прибавление 180° к углу на координатной окружности означает переход к диаметрально противоположной точке. Все новые углы, полученные в пунктах а) и б), отмечены на координатной окружности ниже. Совокупность этих точек включает в себя все основные углы, кратные 30° и 45°, кроме 300°.

Ответ: Точки, соответствующие новым углам, отмечены на координатной окружности. Синим цветом отмечены точки, полученные из углов пункта а), красным - из углов пункта б).