Номер 527, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 527, страница 154.

Условие.

527. Верно ли утверждение:

а) если $180^\circ < \beta < 270^\circ$, то $\beta$ – угол III четверти;

б) если $\beta$ – угол III четверти, то $180^\circ < \beta < 270^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Данное утверждение является верным. В тригонометрии принято делить координатную плоскость на четыре четверти. Границы четвертей проходят по осям координат и соответствуют углам $0^\circ$ (или $360^\circ$), $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$. III четверть по определению является областью между $180^\circ$ и $270^\circ$. Таким образом, неравенство $180^\circ < \beta < 270^\circ$ является точным определением для угла, конечная сторона которого находится в III четверти (если рассматривать углы в пределах одного полного оборота).

Ответ: верно.

б)

Данное утверждение является неверным. То, что угол $\beta$ является углом III четверти, означает, что его конечная сторона (терминальный луч) находится в III четверти. Положение конечной стороны угла не меняется при добавлении или вычитании целого числа полных оборотов, то есть $360^\circ \cdot k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Общее условие для угла $\beta$ III четверти имеет вид:

$180^\circ + 360^\circ \cdot k < \beta < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$, для любого целого $k$.

Условие $180^\circ < \beta < 270^\circ$, указанное в вопросе, соответствует лишь частному случаю этого общего правила, когда $k=0$.

В качестве контрпримера можно взять любой другой целый $k$. Например, при $k=1$, угол $\beta = 190^\circ + 360^\circ = 550^\circ$ принадлежит III четверти, так как его конечная сторона совпадает с конечной стороной угла $190^\circ$. Однако, для него неравенство $180^\circ < 550^\circ < 270^\circ$ очевидно неверно.

Другой контрпример: при $k=-1$, угол $\beta = 200^\circ - 360^\circ = -160^\circ$ также принадлежит III четверти, но не удовлетворяет заданному в вопросе неравенству.

Ответ: неверно.