Номер 533, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 533, страница 155.

Условие.

533. Выразите в радианной мере больший угол треугольника, если его углы образуют:

а) арифметическую прогрессию с разностью $20^\circ$;

б) геометрическую прогрессию со знаменателем 1,5.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть углы треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Их можно представить в виде $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$, где $d$ — разность прогрессии. По условию, $d = 20^\circ$.

Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$(\alpha - 20^\circ) + \alpha + (\alpha + 20^\circ) = 180^\circ$

$3\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Теперь найдем все три угла:

Первый угол: $60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$

Второй угол: $60^\circ$

Третий угол: $60^\circ + 20^\circ = 80^\circ$

Больший угол равен $80^\circ$. Теперь выразим его в радианах. Для перевода градусов в радианы используется формула: $x_{\text{рад}} = x^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

$80^\circ = 80 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$ радиан.

Ответ: $\frac{4\pi}{9}$.

б) Пусть углы треугольника, образующие геометрическую прогрессию, равны $\beta_1, \beta_2, \beta_3$. Их можно представить в виде $\beta, \beta \cdot q, \beta \cdot q^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии. По условию, $q = 1,5$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$\beta + \beta \cdot 1,5 + \beta \cdot (1,5)^2 = 180^\circ$

$\beta + 1,5\beta + 2,25\beta = 180^\circ$

$4,75\beta = 180^\circ$

Представим $4,75$ в виде неправильной дроби: $4,75 = 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$.

$\frac{19}{4}\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ \cdot 4}{19} = \frac{720^\circ}{19}$

Так как знаменатель прогрессии $q = 1,5 > 1$, то прогрессия возрастающая, и самый большой угол — это третий член прогрессии, $\beta_3 = \beta \cdot q^2$.

$\beta_3 = \frac{720^\circ}{19} \cdot (1,5)^2 = \frac{720^\circ}{19} \cdot 2,25 = \frac{720^\circ}{19} \cdot \frac{9}{4} = \frac{180^\circ \cdot 9}{19} = \frac{1620^\circ}{19}$.

Теперь выразим этот угол в радианах:

$\frac{1620}{19} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1620\pi}{19 \cdot 180} = \frac{9\pi}{19}$ радиан.

Ответ: $\frac{9\pi}{19}$.