Номер 529, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 529, страница 155.

Условие.

529. Установите, углом какой четверти является угол поворота, равный:

а) $ -\frac{\pi}{4} $;

б) $ \frac{2\pi}{3} $;

в) $ \frac{7\pi}{6} $;

г) $ -\frac{5\pi}{3} $;

д) $ \frac{13\pi}{4} $;

е) $ -\frac{19\pi}{6} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, углом какой четверти является заданный угол, нужно привести его к значению в диапазоне от $0$ до $2\pi$ (или от $0^\circ$ до $360^\circ$) путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi$).

Напомним границы четвертей в радианах:
I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

а) Угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.
Это отрицательный угол. Чтобы найти соответствующий ему положительный угол, прибавим $2\pi$:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
Теперь сравним полученный угол с границами четвертей. Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.
Следовательно, угол принадлежит IV четверти.
Ответ: IV четверть.

б) Угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Этот угол уже находится в диапазоне от $0$ до $2\pi$. Сравним его с границами четвертей.
$\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$.
Выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$.
Следовательно, угол принадлежит II четверти.
Ответ: II четверть.

в) Угол $\alpha = \frac{7\pi}{6}$.
Угол находится в диапазоне от $0$ до $2\pi$. Сравним его с границами четвертей.
$\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$.
Выполняется неравенство $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$.
Следовательно, угол принадлежит III четверти.
Ответ: III четверть.

г) Угол $\alpha = -\frac{5\pi}{3}$.
Это отрицательный угол. Прибавим $2\pi$, чтобы получить угол в основном диапазоне:
$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
Выполняется неравенство $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, угол принадлежит I четверти.
Ответ: I четверть.

д) Угол $\alpha = \frac{13\pi}{4}$.
Этот угол больше, чем $2\pi$. Вычтем полный оборот $2\pi = \frac{8\pi}{4}$:
$\frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Теперь сравним полученный угол с границами четвертей. Так как $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$.
Следовательно, угол принадлежит III четверти.
Ответ: III четверть.

е) Угол $\alpha = -\frac{19\pi}{6}$.
Это отрицательный угол, модуль которого больше $2\pi$. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, нужно прибавить $k \cdot 2\pi$ так, чтобы результат попал в интервал $[0, 2\pi)$.
$2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Попробуем прибавить $4\pi = 2 \cdot 2\pi = \frac{24\pi}{6}$:
$-\frac{19\pi}{6} + 4\pi = -\frac{19\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Сравним полученный угол с границами четвертей. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$.
Следовательно, угол принадлежит II четверти.
Ответ: II четверть.