Номер 550, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 550, страница 165.

Условие.

550. Заполните таблицу:

$\alpha$0$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\frac{2\pi}{3}$$\frac{3\pi}{4}$$\frac{5\pi}{6}$$\pi$$\frac{3\pi}{2}$

$\sin \alpha$

$\cos \alpha$

$\operatorname{tg} \alpha$

$\operatorname{ctg} \alpha$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значений тригонометрических функций будем использовать единичную окружность, определения функций и формулы приведения.

Для $\alpha = 0$

Точка на единичной окружности соответствует координатам $(1, 0)$.

$\sin(0) = 0$ (координата y)

$\cos(0) = 1$ (координата x)

$\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$

$\cot(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0}$, значение не определено.

Ответ: $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$, $\tan(0) = 0$, $\cot(0)$ не определен.

Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$

Это табличное значение для угла $30^\circ$.

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\cos(\frac{\pi}{6})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$

Это табличное значение для угла $45^\circ$.

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$

$\cot(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4})} = 1$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$

Это табличное значение для угла $60^\circ$.

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

$\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$

Точка на единичной окружности соответствует координатам $(0, 1)$.

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$\tan(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0}$, значение не определено.

$\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\tan(\frac{\pi}{2})$ не определен, $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Для $\alpha = \frac{2\pi}{3}$

Угол находится во второй четверти. Формула приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{2\pi}{3})}{\cos(\frac{2\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

$\cot(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{\tan(\frac{2\pi}{3})} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, $\cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для $\alpha = \frac{3\pi}{4}$

Угол находится во второй четверти. Формула приведения: $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$.

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{4})}{\cos(\frac{3\pi}{4})} = -1$

$\cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$

Ответ: $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$, $\cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Для $\alpha = \frac{5\pi}{6}$

Угол находится во второй четверти. Формула приведения: $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sin(\frac{5\pi}{6})}{\cos(\frac{5\pi}{6})} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{\tan(\frac{5\pi}{6})} = -\sqrt{3}$

Ответ: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Для $\alpha = \pi$

Точка на единичной окружности соответствует координатам $(-1, 0)$.

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

$\tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$

$\cot(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0}$, значение не определено.

Ответ: $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$, $\tan(\pi) = 0$, $\cot(\pi)$ не определен.

Для $\alpha = \frac{3\pi}{2}$

Точка на единичной окружности соответствует координатам $(0, -1)$.

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\tan(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{\cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac{-1}{0}$, значение не определено.

$\cot(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, $\tan(\frac{3\pi}{2})$ не определен, $\cot(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$0$
$\text{tg } \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	-	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	-
$\text{ctg } \alpha$	-	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	-	$0$