Номер 554, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 554, страница 165.

Условие.

554. Какой знак имеет значение $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $, если угол $ \alpha $ равен:

а) 25°, -260°, 325°, -1120°;

б) $ -\frac{5\pi}{12} $, $ \frac{19\pi}{18} $, $ -\frac{11\pi}{9} $, $ \frac{81\pi}{20} $;

в) -83°, 198°, -295°, 1540°;

г) $ \frac{\pi}{15} $, $ -\frac{17\pi}{14} $, $ \frac{40\pi}{21} $, $ -\frac{37\pi}{30} $?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения знаков синуса и косинуса угла $\alpha$ необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится этот угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям:

I четверть ($0° < \alpha < 90°$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$.

II четверть ($90° < \alpha < 180°$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$.

III четверть ($180° < \alpha < 270°$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$.

IV четверть ($270° < \alpha < 360°$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$.

Для углов, выходящих за пределы от $0°$ до $360°$ (или от $0$ до $2\pi$ радиан), мы находим соответствующий угол в этом диапазоне, прибавляя или вычитая целое число полных оборотов ($360°$ или $2\pi$).

а)

1. Угол $\alpha = 25°$.
Поскольку $0° < 25° < 90°$, угол находится в I четверти.
В I четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin 25° > 0$, $\cos 25° > 0$.

2. Угол $\alpha = -260°$.
Найдем положительный угол, соответствующий данному: $-260° + 360° = 100°$.
Поскольку $90° < 100° < 180°$, угол находится во II четверти.
Во II четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin(-260°) > 0$, $\cos(-260°) < 0$.

3. Угол $\alpha = 325°$.
Поскольку $270° < 325° < 360°$, угол находится в IV четверти.
В IV четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin 325° < 0$, $\cos 325° > 0$.

4. Угол $\alpha = -1120°$.
Найдем соответствующий угол в диапазоне от $0°$ до $360°$: $-1120° + 4 \cdot 360° = -1120° + 1440° = 320°$.
Поскольку $270° < 320° < 360°$, угол находится в IV четверти.
В IV четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(-1120°) < 0$, $\cos(-1120°) > 0$.

Ответ: для 25°: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$; для -260°: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$; для 325°: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$; для -1120°: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$.

б)

1. Угол $\alpha = -\frac{5\pi}{12}$.
Поскольку $-\frac{\pi}{2} < -\frac{5\pi}{12} < 0$ (т.к. $-\frac{6\pi}{12} < -\frac{5\pi}{12} < 0$), угол находится в IV четверти.
В IV четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(-\frac{5\pi}{12}) < 0$, $\cos(-\frac{5\pi}{12}) > 0$.

2. Угол $\alpha = \frac{19\pi}{18}$.
Представим угол как $\frac{19\pi}{18} = \pi + \frac{\pi}{18}$.
Поскольку $\pi < \frac{19\pi}{18} < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
В III четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin(\frac{19\pi}{18}) < 0$, $\cos(\frac{19\pi}{18}) < 0$.

3. Угол $\alpha = -\frac{11\pi}{9}$.
Найдем положительный угол, соответствующий данному: $-\frac{11\pi}{9} + 2\pi = -\frac{11\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{9} < \pi$ (т.к. $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$), угол находится во II четверти.
Во II четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin(-\frac{11\pi}{9}) > 0$, $\cos(-\frac{11\pi}{9}) < 0$.

4. Угол $\alpha = \frac{81\pi}{20}$.
Выделим целое число оборотов: $\frac{81\pi}{20} = \frac{80\pi + \pi}{20} = 4\pi + \frac{\pi}{20}$.
Угол соответствует $\frac{\pi}{20}$. Поскольку $0 < \frac{\pi}{20} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
В I четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(\frac{81\pi}{20}) > 0$, $\cos(\frac{81\pi}{20}) > 0$.

Ответ: для $-\frac{5\pi}{12}$: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$; для $\frac{19\pi}{18}$: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$; для $-\frac{11\pi}{9}$: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$; для $\frac{81\pi}{20}$: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$.

в)

1. Угол $\alpha = -83°$.
Поскольку $-90° < -83° < 0°$, угол находится в IV четверти.
В IV четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(-83°) < 0$, $\cos(-83°) > 0$.

2. Угол $\alpha = 198°$.
Поскольку $180° < 198° < 270°$, угол находится в III четверти.
В III четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin 198° < 0$, $\cos 198° < 0$.

3. Угол $\alpha = -295°$.
Найдем положительный угол: $-295° + 360° = 65°$.
Поскольку $0° < 65° < 90°$, угол находится в I четверти.
В I четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(-295°) > 0$, $\cos(-295°) > 0$.

4. Угол $\alpha = 1540°$.
Найдем соответствующий угол в диапазоне от $0°$ до $360°$: $1540° - 4 \cdot 360° = 1540° - 1440° = 100°$.
Поскольку $90° < 100° < 180°$, угол находится во II четверти.
Во II четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin 1540° > 0$, $\cos 1540° < 0$.

Ответ: для -83°: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$; для 198°: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$; для -295°: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$; для 1540°: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$.

г)

1. Угол $\alpha = \frac{\pi}{15}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
В I четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(\frac{\pi}{15}) > 0$, $\cos(\frac{\pi}{15}) > 0$.

2. Угол $\alpha = -\frac{17\pi}{14}$.
Найдем положительный угол: $-\frac{17\pi}{14} + 2\pi = -\frac{17\pi}{14} + \frac{28\pi}{14} = \frac{11\pi}{14}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{11\pi}{14} < \pi$ (т.к. $\frac{7\pi}{14} < \frac{11\pi}{14} < \frac{14\pi}{14}$), угол находится во II четверти.
Во II четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin(-\frac{17\pi}{14}) > 0$, $\cos(-\frac{17\pi}{14}) < 0$.

3. Угол $\alpha = \frac{40\pi}{21}$.
Поскольку $\pi < \frac{3\pi}{2} \approx \frac{31.5\pi}{21}$ и $2\pi = \frac{42\pi}{21}$, то $\frac{3\pi}{2} < \frac{40\pi}{21} < 2\pi$. Угол находится в IV четверти.
В IV четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Следовательно, $\sin(\frac{40\pi}{21}) < 0$, $\cos(\frac{40\pi}{21}) > 0$.

4. Угол $\alpha = -\frac{37\pi}{30}$.
Найдем положительный угол: $-\frac{37\pi}{30} + 2\pi = -\frac{37\pi}{30} + \frac{60\pi}{30} = \frac{23\pi}{30}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{23\pi}{30} < \pi$ (т.к. $\frac{15\pi}{30} < \frac{23\pi}{30} < \frac{30\pi}{30}$), угол находится во II четверти.
Во II четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, $\sin(-\frac{37\pi}{30}) > 0$, $\cos(-\frac{37\pi}{30}) < 0$.

Ответ: для $\frac{\pi}{15}$: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$; для $-\frac{17\pi}{14}$: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$; для $\frac{40\pi}{21}$: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$; для $-\frac{37\pi}{30}$: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$.