Номер 559, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 559, страница 166.

Условие.

559. Не выполняя вычислений, установите знак разности:

a) $\sin \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{3}$;

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$;

г) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы установить знак разности $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3} $, необходимо сравнить значения углов $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{3} $. Оба угла находятся в первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$). Сравним углы, приведя их к общему знаменателю: $ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} $ и $ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12} $. Так как $ 3\pi < 4\pi $, то $ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} $. Функция $y = \sin x$ на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ является возрастающей, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{4} < \sin\frac{\pi}{3} $. Из этого следует, что разность $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3} $ отрицательна. Ответ: знак "минус".

б) Чтобы установить знак разности $ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3} $, рассмотрим поведение функции косинус. Углы $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{3} $ находятся в первой четверти, и, как мы установили ранее, $ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} $. Функция $y = \cos x$ на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ является убывающей, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{4} > \cos\frac{\pi}{3} $. Из этого следует, что разность $ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3} $ положительна. Ответ: знак "плюс".

в) Чтобы установить знак разности $ \tg\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6} $, сравним углы $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} $. Очевидно, что $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} $. Оба угла лежат в первой четверти. Функция $y = \tg x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ является возрастающей. Значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $ \tg\frac{\pi}{3} > \tg\frac{\pi}{6} $. Таким образом, разность $ \tg\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6} $ положительна. Ответ: знак "плюс".

г) Чтобы установить знак разности $ \ctg\frac{\pi}{3} - \ctg\frac{\pi}{6} $, рассмотрим поведение функции котангенс. Мы знаем, что углы $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} $ находятся в первой четверти и $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} $. Функция $y = \ctg x$ на промежутке $(0; \pi)$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $ \ctg\frac{\pi}{3} < \ctg\frac{\pi}{6} $. Таким образом, разность $ \ctg\frac{\pi}{3} - \ctg\frac{\pi}{6} $ отрицательна. Ответ: знак "минус".