Номер 564, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 564, страница 167.

Условие.

564. Укажите три значения радианной меры угла $\alpha$, при которых

sin $\alpha$ равен:

а) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $1$;

г) $0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Требуется найти три значения угла $α$, при которых $sin(α) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решения уравнения $sin(x) = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Главное значение арксинуса для этого числа: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общая формула для $α$ будет: $α = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.

Найдем три различных значения $α$, подставляя разные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $α = (-1)^0 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$.

2. При $k=1$: $α = (-1)^1 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

3. При $k=2$: $α = (-1)^2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$.

б)

Требуется найти три значения угла $α$, при которых $sin(α) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу $α = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Общая формула для $α$ имеет вид: $α = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Найдем три различных значения $α$, подставляя разные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $α = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.

2. При $k=1$: $α = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.

3. При $k=2$: $α = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{9\pi}{4}$.

в)

Требуется найти три значения угла $α$, при которых $sin(α) = 1$.

Это частный случай. Уравнение $sin(α) = 1$ имеет решения, которые можно описать формулой $α = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем три различных значения $α$, подставляя разные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $α = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.

2. При $k=1$: $α = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$.

3. При $k=-1$: $α = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$.

г)

Требуется найти три значения угла $α$, при которых $sin(α) = 0$.

Это также частный случай. Уравнение $sin(α) = 0$ имеет решения, которые можно описать формулой $α = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем три различных значения $α$, подставляя разные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $α = \pi \cdot 0 = 0$.

2. При $k=1$: $α = \pi \cdot 1 = \pi$.

3. При $k=2$: $α = \pi \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $0$, $\pi$, $2\pi$.