Номер 565, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 565, страница 167.

Условие.

565. Укажите три значения градусной меры угла $\alpha$, при которых

$\cos \alpha$ равен:

а) $\frac{1}{2}$;

б) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $-1$;

г) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для того чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $, мы используем общую формулу решения тригонометрических уравнений. Общее решение для $ \cos \alpha = a $ в градусах имеет вид $ \alpha = \pm \arccos(a) + 360^\circ \cdot n $, где $ n $ — любое целое число.
Для $ a = \frac{1}{2} $, главное значение $ \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ $.
Следовательно, общая формула для $ \alpha $ выглядит так: $ \alpha = \pm 60^\circ + 360^\circ \cdot n $.
Нам необходимо указать три различных значения. Мы можем найти их, подставляя разные целые значения для $ n $ и используя оба знака (±):
1. При $ n = 0 $ и знаке «+»: $ \alpha = 60^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 60^\circ $.
2. При $ n = 1 $ и знаке «-»: $ \alpha = -60^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 300^\circ $.
3. При $ n = 1 $ и знаке «+»: $ \alpha = 60^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 420^\circ $.
Ответ: $ 60^\circ, 300^\circ, 420^\circ $.

б) Для уравнения $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, общее решение в градусах имеет вид $ \alpha = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 360^\circ \cdot n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Главное значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^\circ $.
Следовательно, общая формула: $ \alpha = \pm 135^\circ + 360^\circ \cdot n $.
Найдем три различных значения $ \alpha $:
1. При $ n = 0 $ и знаке «+»: $ \alpha = 135^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 135^\circ $.
2. При $ n = 1 $ и знаке «-»: $ \alpha = -135^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 225^\circ $.
3. При $ n = 1 $ и знаке «+»: $ \alpha = 135^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 495^\circ $.
Ответ: $ 135^\circ, 225^\circ, 495^\circ $.

в) Для уравнения $ \cos \alpha = -1 $, общее решение в градусах имеет вид $ \alpha = \pm \arccos(-1) + 360^\circ \cdot n $.
Главное значение $ \arccos(-1) = 180^\circ $.
Формула принимает вид $ \alpha = \pm 180^\circ + 360^\circ \cdot n $. В этом частном случае серии решений для знаков «+» и «-» совпадают, поэтому формулу можно упростить до $ \alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot n $, где $ n $ — любое целое число.
Найдем три различных значения $ \alpha $:
1. При $ n = 0 $: $ \alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 180^\circ $.
2. При $ n = 1 $: $ \alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 540^\circ $.
3. При $ n = -1 $: $ \alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -180^\circ $.
Ответ: $ 180^\circ, 540^\circ, -180^\circ $.

г) Для уравнения $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $, общее решение в градусах имеет вид $ \alpha = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 360^\circ \cdot n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Главное значение $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ $.
Следовательно, общая формула: $ \alpha = \pm 30^\circ + 360^\circ \cdot n $.
Найдем три различных значения $ \alpha $:
1. При $ n = 0 $ и знаке «+»: $ \alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 30^\circ $.
2. При $ n = 1 $ и знаке «-»: $ \alpha = -30^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 330^\circ $.
3. При $ n = 1 $ и знаке «+»: $ \alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 390^\circ $.
Ответ: $ 30^\circ, 330^\circ, 390^\circ $.