Номер 567, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 567, страница 167.

Условие.

567. Укажите три значения радианной меры угла $\alpha$, при которых

ctg $\alpha$ равен:

а) 0;

б) $\sqrt{3}$;

в) $-\sqrt{3}$;

г) $-1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \text{ctg } \alpha = 0 $, воспользуемся общей формулой для решения этого тригонометрического уравнения: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (любое целое число). Нам нужно указать три таких значения. Для этого выберем три разных целых значения для $ n $, например, $ n=0 $, $ n=1 $ и $ n=-1 $.

При $ n=0 $: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $.

При $ n=1 $: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} $.

При $ n=-1 $: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} $.

Таким образом, мы нашли три значения: $ \frac{\pi}{2} $, $ \frac{3\pi}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $, $ \frac{3\pi}{2} $, $ -\frac{\pi}{2} $.

б) Чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \text{ctg } \alpha = \sqrt{3} $, воспользуемся общей формулой: $ \alpha = \text{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Значение арккотангенса $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, общая формула имеет вид: $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n $. Выберем три значения для $ n $, например, $ n=0 $, $ n=1 $ и $ n=2 $.

При $ n=0 $: $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} $.

При $ n=1 $: $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{6} $.

При $ n=2 $: $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{13\pi}{6} $.

Мы получили три значения: $ \frac{\pi}{6} $, $ \frac{7\pi}{6} $ и $ \frac{13\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $, $ \frac{7\pi}{6} $, $ \frac{13\pi}{6} $.

в) Чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \text{ctg } \alpha = -\sqrt{3} $, воспользуемся общей формулой: $ \alpha = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Значение арккотангенса $ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Следовательно, общая формула имеет вид: $ \alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi n $. Выберем три значения для $ n $, например, $ n=0 $, $ n=1 $ и $ n=-1 $.

При $ n=0 $: $ \alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6} $.

При $ n=1 $: $ \alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{11\pi}{6} $.

При $ n=-1 $: $ \alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6} $.

Мы получили три значения: $ \frac{5\pi}{6} $, $ \frac{11\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $, $ \frac{11\pi}{6} $, $ -\frac{\pi}{6} $.

г) Чтобы найти значения угла $ \alpha $, при которых $ \text{ctg } \alpha = -1 $, воспользуемся общей формулой: $ \alpha = \text{arcctg}(-1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Значение арккотангенса $ \text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Следовательно, общая формула имеет вид: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n $. Выберем три значения для $ n $, например, $ n=0 $, $ n=1 $ и $ n=-1 $.

При $ n=0 $: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} $.

При $ n=1 $: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{4} $.

При $ n=-1 $: $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot (-1) = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4} $.

Мы получили три значения: $ \frac{3\pi}{4} $, $ \frac{7\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $, $ \frac{7\pi}{4} $, $ -\frac{\pi}{4} $.