Номер 562, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 562, страница 166.

Условие.

562. Расположите в порядке возрастания значения:

а) синусов;

в) тангенсов;

б) косинусов;

г) котангенсов углов $- \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{9}, - \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{9}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы расположить значения тригонометрических функций в порядке возрастания, сначала приведем все углы к более удобному для сравнения виду и определим, в какой четверти находится каждый угол. Данные углы: $-\frac{2\pi}{9}$, $\frac{\pi}{9}$, $-\frac{5\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{9}$.

Приведем углы к основному промежутку, используя периодичность и свойства функций:

1. Угол $-\frac{2\pi}{9}$ находится в IV четверти.

2. Угол $\frac{\pi}{9}$ находится в I четверти.

3. Угол $-\frac{5\pi}{3}$ можно привести к углу в первой четверти: $-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{-5\pi + 6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

4. Угол $\frac{11\pi}{9}$ можно представить как $\pi + \frac{2\pi}{9}$, он находится в III четверти.

а) синусов

Нам нужно сравнить значения: $\sin(-\frac{2\pi}{9})$, $\sin(\frac{\pi}{9})$, $\sin(-\frac{5\pi}{3})$ и $\sin(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойства синуса и приведенные углы:

• $\sin(-\frac{2\pi}{9}) = -\sin(\frac{2\pi}{9})$, так как синус - нечетная функция. Угол $-\frac{2\pi}{9}$ находится в IV четверти, поэтому его синус отрицателен.

• $\sin(\frac{\pi}{9})$ – значение положительное, так как угол $\frac{\pi}{9}$ находится в I четверти.

• $\sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$ – значение положительное, так как угол $\frac{\pi}{3}$ находится в I четверти.

• $\sin(\frac{11\pi}{9}) = \sin(\pi + \frac{2\pi}{9}) = -\sin(\frac{2\pi}{9})$. Угол $\frac{11\pi}{9}$ находится в III четверти, поэтому его синус отрицателен.

Сравниваем отрицательные значения: $\sin(-\frac{2\pi}{9})$ и $\sin(\frac{11\pi}{9})$. Оба они равны $-\sin(\frac{2\pi}{9})$, следовательно, $\sin(-\frac{2\pi}{9}) = \sin(\frac{11\pi}{9})$. Это наименьшие значения.

Сравниваем положительные значения: $\sin(\frac{\pi}{9})$ и $\sin(\frac{\pi}{3})$. В I четверти (на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$) функция синус возрастает. Так как $\frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{3}$, то $\sin(\frac{\pi}{9}) < \sin(\frac{\pi}{3})$.

Объединяя все, получаем следующий порядок возрастания: $\sin(-\frac{2\pi}{9}) = \sin(\frac{11\pi}{9}) < \sin(\frac{\pi}{9}) < \sin(-\frac{5\pi}{3})$.

Ответ: $\sin(\frac{11\pi}{9})$, $\sin(-\frac{2\pi}{9})$, $\sin(\frac{\pi}{9})$, $\sin(-\frac{5\pi}{3})$.

б) косинусов

Нам нужно сравнить значения: $\cos(-\frac{2\pi}{9})$, $\cos(\frac{\pi}{9})$, $\cos(-\frac{5\pi}{3})$ и $\cos(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойства косинуса и приведенные углы:

• $\cos(-\frac{2\pi}{9}) = \cos(\frac{2\pi}{9})$, так как косинус - четная функция. Угол в IV четверти, косинус положителен.

• $\cos(\frac{\pi}{9})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\cos(\frac{11\pi}{9}) = \cos(\pi + \frac{2\pi}{9}) = -\cos(\frac{2\pi}{9})$. Угол в III четверти, косинус отрицателен.

Единственное отрицательное значение, $\cos(\frac{11\pi}{9})$, является наименьшим.

Сравниваем положительные значения: $\cos(\frac{2\pi}{9})$, $\cos(\frac{\pi}{9})$ и $\cos(\frac{\pi}{3})$. В I четверти (на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$) функция косинус убывает. Упорядочим углы: $\frac{\pi}{9} < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{3}$. Следовательно, для их косинусов порядок будет обратным: $\cos(\frac{\pi}{3}) < \cos(\frac{2\pi}{9}) < \cos(\frac{\pi}{9})$.

Объединяя все, получаем следующий порядок возрастания: $\cos(\frac{11\pi}{9}) < \cos(-\frac{5\pi}{3}) < \cos(-\frac{2\pi}{9}) < \cos(\frac{\pi}{9})$.

Ответ: $\cos(\frac{11\pi}{9})$, $\cos(-\frac{5\pi}{3})$, $\cos(-\frac{2\pi}{9})$, $\cos(\frac{\pi}{9})$.

в) тангенсов

Нам нужно сравнить значения: $\tan(-\frac{2\pi}{9})$, $\tan(\frac{\pi}{9})$, $\tan(-\frac{5\pi}{3})$ и $\tan(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойства тангенса:

• $\tan(-\frac{2\pi}{9}) = -\tan(\frac{2\pi}{9})$. Угол в IV четверти, тангенс отрицателен.

• $\tan(\frac{\pi}{9})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\tan(-\frac{5\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\tan(\frac{11\pi}{9}) = \tan(\pi + \frac{2\pi}{9}) = \tan(\frac{2\pi}{9})$. Угол в III четверти, тангенс положителен.

Единственное отрицательное значение, $\tan(-\frac{2\pi}{9})$, является наименьшим.

Сравниваем положительные значения: $\tan(\frac{\pi}{9})$, $\tan(\frac{\pi}{3})$ и $\tan(\frac{2\pi}{9})$. В I четверти (на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$) функция тангенс возрастает. Так как $\frac{\pi}{9} < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{3}$, то $\tan(\frac{\pi}{9}) < \tan(\frac{2\pi}{9}) < \tan(\frac{\pi}{3})$.

Объединяя все, получаем следующий порядок возрастания: $\tan(-\frac{2\pi}{9}) < \tan(\frac{\pi}{9}) < \tan(\frac{11\pi}{9}) < \tan(-\frac{5\pi}{3})$.

Ответ: $\tan(-\frac{2\pi}{9})$, $\tan(\frac{\pi}{9})$, $\tan(\frac{11\pi}{9})$, $\tan(-\frac{5\pi}{3})$.

г) котангенсов

Нам нужно сравнить значения: $\cot(-\frac{2\pi}{9})$, $\cot(\frac{\pi}{9})$, $\cot(-\frac{5\pi}{3})$ и $\cot(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойства котангенса:

• $\cot(-\frac{2\pi}{9}) = -\cot(\frac{2\pi}{9})$. Угол в IV четверти, котангенс отрицателен.

• $\cot(\frac{\pi}{9})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\cot(-\frac{5\pi}{3}) = \cot(\frac{\pi}{3})$ – значение положительное, угол в I четверти.

• $\cot(\frac{11\pi}{9}) = \cot(\pi + \frac{2\pi}{9}) = \cot(\frac{2\pi}{9})$. Угол в III четверти, котангенс положителен.

Единственное отрицательное значение, $\cot(-\frac{2\pi}{9})$, является наименьшим.

Сравниваем положительные значения: $\cot(\frac{\pi}{9})$, $\cot(\frac{\pi}{3})$ и $\cot(\frac{2\pi}{9})$. На интервале $(0, \pi)$ функция котангенс убывает. Упорядочим углы: $\frac{\pi}{9} < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{3}$. Следовательно, для их котангенсов порядок будет обратным: $\cot(\frac{\pi}{3}) < \cot(\frac{2\pi}{9}) < \cot(\frac{\pi}{9})$.

Объединяя все, получаем следующий порядок возрастания: $\cot(-\frac{2\pi}{9}) < \cot(-\frac{5\pi}{3}) < \cot(\frac{11\pi}{9}) < \cot(\frac{\pi}{9})$.

Ответ: $\cot(-\frac{2\pi}{9})$, $\cot(-\frac{5\pi}{3})$, $\cot(\frac{11\pi}{9})$, $\cot(\frac{\pi}{9})$.