Номер 558, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 558, страница 166.

Условие.

558. Определите знак выражения, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$:

a) $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)$;

б) $\text{cos}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$;

в) $\text{sin}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$;

г) $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы определить знак выражения $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, нужно найти, в какой четверти находится угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $. По условию $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Если прибавить $ \frac{\pi}{2} $ ко всем частям этого неравенства, получим $ \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi $. Это означает, что угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ расположен во второй тригонометрической четверти. Во второй четверти котангенс имеет отрицательное значение. Другой способ — использовать формулу приведения: $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $. Поскольку $ \alpha $ является углом первой четверти, $ \text{tg}(\alpha) $ положителен, а значит, выражение $ -\text{tg}(\alpha) $ отрицательно. Ответ: минус (-).

б) Чтобы определить знак выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $. Из условия $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 $. Прибавив $ \frac{\pi}{2} $ ко всем частям, получаем $ 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} $. Это означает, что угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ расположен в первой четверти, где косинус положителен. Также можно применить формулу приведения: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. Так как $ \alpha $ — угол первой четверти, $ \sin(\alpha) $ имеет положительное значение. Ответ: плюс (+).

в) Чтобы определить знак выражения $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $. По условию $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Если прибавить $ \frac{3\pi}{2} $ ко всем частям неравенства, получим $ \frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + \alpha < 2\pi $. Это означает, что угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ расположен в четвертой четверти, где синус отрицателен. По формуле приведения: $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $. Поскольку $ \alpha $ — угол первой четверти, $ \cos(\alpha) $ положителен, а значит, выражение $ -\cos(\alpha) $ отрицательно. Ответ: минус (-).

г) Чтобы определить знак выражения $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $. Из условия $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 $. Прибавив $ \frac{3\pi}{2} $ ко всем частям, получаем $ \pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ расположен в третьей четверти. В третьей четверти тангенс положителен, так как и синус, и косинус отрицательны. По формуле приведения: $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Так как $ \alpha $ — угол первой четверти, $ \text{ctg}(\alpha) $ имеет положительное значение. Ответ: плюс (+).