Номер 551, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 551, страница 165.

Условие.

551. Вычислите:

a) $\cos\frac{\pi}{6} + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 2\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos \pi$;

б) $2\sin\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $2\sin\frac{\pi}{4} - 3\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 4\sin 2\pi - 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

г) $4\cos\frac{\pi}{3} - \cos 2\pi + 3\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \cos\frac{\pi}{6} + \sin(-\frac{\pi}{3}) - 2\mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 2\cos\pi $

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $ \sin(-x) = -\sin x $ (нечетная функция) и $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg} x $ (нечетная функция).

Преобразуем исходное выражение:

$ \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3} - 2(-\mathrm{ctg}\frac{\pi}{4}) + 2\cos\pi = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3} + 2\mathrm{ctg}\frac{\pi}{4} + 2\cos\pi $

Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций: $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \mathrm{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \cos\pi = -1 $.

Подставляем значения в выражение и вычисляем:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 + 2 - 2 = 0 $

Ответ: 0

б) $ 2\sin\frac{\pi}{6} + \mathrm{tg}(-\frac{\pi}{4}) + 2\cos(-\frac{\pi}{6}) + \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{6}) $

Используем свойства четности и нечетности: $ \mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg} x $ (нечетная), $ \cos(-x) = \cos x $ (четная), $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg} x $ (нечетная).

Преобразуем выражение:

$ 2\sin\frac{\pi}{6} - \mathrm{tg}\frac{\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{6} - \mathrm{ctg}\frac{\pi}{6} $

Подставим табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \mathrm{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \mathrm{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $.

Подставляем значения и вычисляем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = 1 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 $

Ответ: 0

в) $ 2\sin\frac{\pi}{4} - 3\mathrm{tg}(-\frac{\pi}{6}) - 4\sin 2\pi - 2\cos(-\frac{\pi}{4}) $

Используем свойства четности и нечетности: $ \mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg} x $ и $ \cos(-x) = \cos x $.

Преобразуем выражение:

$ 2\sin\frac{\pi}{4} - 3(-\mathrm{tg}\frac{\pi}{6}) - 4\sin 2\pi - 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\sin\frac{\pi}{4} + 3\mathrm{tg}\frac{\pi}{6} - 4\sin 2\pi - 2\cos\frac{\pi}{4} $

Подставим табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \mathrm{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \sin 2\pi = 0 $, $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставляем значения и вычисляем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 4 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3} - 0 - \sqrt{2} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $

г) $ 4\cos\frac{\pi}{3} - \cos 2\pi + 3\mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{3}) - 2\sin(-\frac{\pi}{3}) $

Используем свойства нечетности функций синус и котангенс: $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg} x $ и $ \sin(-x) = -\sin x $.

Преобразуем выражение:

$ 4\cos\frac{\pi}{3} - \cos 2\pi + 3(-\mathrm{ctg}\frac{\pi}{3}) - 2(-\sin\frac{\pi}{3}) = 4\cos\frac{\pi}{3} - \cos 2\pi - 3\mathrm{ctg}\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3} $

Подставим табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \cos 2\pi = 1 $, $ \mathrm{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем значения и вычисляем:

$ 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 1 $

Ответ: 1