Номер 557, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 557, страница 166.

Условие.

557. Определите знак произведения:

а) $ \text{tg } 2 \cdot \text{tg } 3; $

б) $ \sin 4 \cdot \cos 5; $

в) $ \sin 3 \cdot \text{ctg } 4; $

г) $ \cos 2 \cdot \sin 3 \cdot \text{tg } 4. $

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения знака произведения тригонометрических функций необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол (аргумент функции), и какой знак имеет данная функция в этой четверти. Углы в задаче указаны в радианах. Для определения четверти будем использовать приближенные значения границ четвертей:

• I четверть: от 0 до $\pi/2 \approx 1.57$
• II четверть: от $\pi/2 \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$
• III четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $3\pi/2 \approx 4.71$
• IV четверть: от $3\pi/2 \approx 4.71$ до $2\pi \approx 6.28$

а) $tg\ 2 \cdot tg\ 3$

Сначала определим знак каждого множителя.

1. Знак $tg\ 2$. Угол, равный 2 радианам, удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 2 < \pi$ (т.к. $1.57 < 2 < 3.14$). Следовательно, этот угол находится во II координатной четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, поэтому $tg\ 2 < 0$.

2. Знак $tg\ 3$. Угол, равный 3 радианам, также удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 3 < \pi$ (т.к. $1.57 < 3 < 3.14$). Следовательно, этот угол находится во II координатной четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, поэтому $tg\ 3 < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-)\cdot(-)=(+)$.

Ответ: знак плюс (+).

б) $sin\ 4 \cdot cos\ 5$

Определим знак каждого множителя.

1. Знак $sin\ 4$. Угол, равный 4 радианам, удовлетворяет неравенству $\pi < 4 < 3\pi/2$ (т.к. $3.14 < 4 < 4.71$). Следовательно, этот угол находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен, поэтому $sin\ 4 < 0$.

2. Знак $cos\ 5$. Угол, равный 5 радианам, удовлетворяет неравенству $3\pi/2 < 5 < 2\pi$ (т.к. $4.71 < 5 < 6.28$). Следовательно, этот угол находится в IV координатной четверти. Косинус в IV четверти положителен, поэтому $cos\ 5 > 0$.

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом: $(-)\cdot(+)=(-)$.

Ответ: знак минус (−).

в) $sin\ 3 \cdot ctg\ 4$

Определим знак каждого множителя.

1. Знак $sin\ 3$. Угол, равный 3 радианам, находится во II четверти (т.к. $\pi/2 < 3 < \pi$). Синус во II четверти положителен, поэтому $sin\ 3 > 0$.

2. Знак $ctg\ 4$. Угол, равный 4 радианам, находится в III четверти (т.к. $\pi < 4 < 3\pi/2$). Котангенс в III четверти положителен, поэтому $ctg\ 4 > 0$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+)\cdot(+)=(+)$.

Ответ: знак плюс (+).

г) $cos\ 2 \cdot sin\ 3 \cdot tg\ 4$

Определим знак каждого из трех множителей.

1. Знак $cos\ 2$. Угол, равный 2 радианам, находится во II четверти (т.к. $\pi/2 < 2 < \pi$). Косинус во II четверти отрицателен, поэтому $cos\ 2 < 0$.

2. Знак $sin\ 3$. Угол, равный 3 радианам, находится во II четверти (т.к. $\pi/2 < 3 < \pi$). Синус во II четверти положителен, поэтому $sin\ 3 > 0$.

3. Знак $tg\ 4$. Угол, равный 4 радианам, находится в III четверти (т.к. $\pi < 4 < 3\pi/2$). Тангенс в III четверти положителен, поэтому $tg\ 4 > 0$.

Произведение отрицательного, положительного и положительного чисел является отрицательным числом: $(-)\cdot(+)\cdot(+)=(-)$.

Ответ: знак минус (−).