Номер 569, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 569, страница 167.

Условие.

569. Докажите тождество:

а)

$ \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha $;

б)

$ \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha $;

в)

$ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства тождества $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ воспользуемся определением тангенса и свойствами четности тригонометрических функций.

По определению тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу:

$ \text{tg}(-\alpha) = \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} $

Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.

Подставим эти свойства в выражение для $ \text{tg}(-\alpha) $:

$ \text{tg}(-\alpha) = \frac{-\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = - \left( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \right) $

Поскольку $ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \text{tg}(\alpha) $, мы получаем:

$ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ доказано с использованием определений тригонометрических функций и их свойств четности.

б) Для доказательства тождества $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ воспользуемся определением котангенса и теми же свойствами четности.

По определению котангенс угла — это отношение косинуса этого угла к его синусу:

$ \text{ctg}(-\alpha) = \frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} $

Используем свойства: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (четная функция) и $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетная функция).

Подставим эти свойства в выражение для $ \text{ctg}(-\alpha) $:

$ \text{ctg}(-\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = - \left( \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right) $

Поскольку $ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha) $, мы получаем:

$ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ доказано с использованием определений тригонометрических функций и их свойств четности.

в) Для доказательства тождества $ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1 $ воспользуемся определениями тангенса и котангенса.

Запишем левую часть равенства через синусы и косинусы:

$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Теперь перемножим эти два выражения:

$ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Это тождество верно для всех углов $ \alpha $, для которых тангенс и котангенс определены, то есть $ \cos(\alpha) \neq 0 $ и $ \sin(\alpha) \neq 0 $. При этих условиях мы можем сократить дроби:

$ \frac{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha)} = 1 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1 $ доказано путем подстановки определений тангенса и котангенса и последующего сокращения дробей.