Номер 573, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 573, страница 168.

Условие.

573. Докажите тождество:

а) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha \left(\operatorname{tg} \alpha - \frac{1}{\cos \alpha}\right) = \sin^2 \alpha - \sin \alpha;$

б) $(\operatorname{tg}(\pi - \alpha) + \operatorname{ctg}(-\alpha))^2 - \operatorname{tg}^2(-\alpha) - \operatorname{ctg}^2(\pi - \alpha) = 2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала заменим $\tg \alpha$ на отношение синуса к косинусу, а затем раскроем скобки.

Левая часть: $\sin \alpha \cdot \cos \alpha (\tg \alpha - \frac{1}{\cos \alpha})$

Подставим $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha})$

Умножим выражение $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ на каждый член в скобках:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}$

Сократим $\cos \alpha$ в каждом члене:

$\sin \alpha \cdot \sin \alpha - \sin \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \sin \alpha$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества: $\sin^2 \alpha - \sin \alpha = \sin^2 \alpha - \sin \alpha$.

Тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $\sin \alpha \cdot \cos \alpha (\tg \alpha - \frac{1}{\cos \alpha})$ после преобразований $\sin \alpha \cdot \cos \alpha (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha}) = \sin^2 \alpha - \sin \alpha$ становится равной правой части, что и требовалось доказать.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Левая часть: $(\tg(\pi - \alpha) + \ctg(-\alpha))^2 - \tg^2(-\alpha) - \ctg^2(\pi - \alpha) = 2$

Применим формулы приведения и свойства нечетности/четности функций:

$\tg(\pi - \alpha) = -\tg \alpha$

$\ctg(-\alpha) = -\ctg \alpha$ (котангенс - нечетная функция)

$\tg(-\alpha) = -\tg \alpha$ (тангенс - нечетная функция), следовательно $\tg^2(-\alpha) = (-\tg \alpha)^2 = \tg^2 \alpha$

$\ctg(\pi - \alpha) = -\ctg \alpha$, следовательно $\ctg^2(\pi - \alpha) = (-\ctg \alpha)^2 = \ctg^2 \alpha$

Подставим эти выражения в левую часть исходного уравнения:

$(-\tg \alpha - \ctg \alpha)^2 - \tg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha$

Вынесем минус за скобки в первом слагаемом: $(-( \tg \alpha + \ctg \alpha))^2 = (\tg \alpha + \ctg \alpha)^2$.

Выражение принимает вид:

$(\tg \alpha + \ctg \alpha)^2 - \tg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$\tg^2 \alpha + 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha + \ctg^2 \alpha - \tg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$(\tg^2 \alpha - \tg^2 \alpha) + (\ctg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha) + 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$:

$2 \cdot 1 = 2$

Левая часть равна правой части: $2 = 2$.

Тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $(\tg(\pi - \alpha) + \ctg(-\alpha))^2 - \tg^2(-\alpha) - \ctg^2(\pi - \alpha)$ после применения формул приведения и упрощения $\tg^2 \alpha + 2\tg\alpha\ctg\alpha + \ctg^2 \alpha - \tg^2 \alpha - \ctg^2 \alpha = 2\tg\alpha\ctg\alpha = 2$ становится равной правой части, что и требовалось доказать.