Номер 578, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 578, страница 169.

Условие.

578. Исследуйте, углом какой четверти является угол поворота $\alpha$, если:

а) $|\cos \alpha| = \cos \alpha$;

б) $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$;

в) $\sin \alpha = \cos \alpha$;

г) $|\operatorname{tg} \alpha| + \operatorname{tg} \alpha = 0.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Равенство $|\cos \alpha| = \cos \alpha$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля является неотрицательным. Это означает, что $\cos \alpha \ge 0$.

На тригонометрической окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате x) точки. Абсцисса неотрицательна для точек, расположенных в первой и четвертой координатных четвертях, а также на оси ординат (где $x=0$).

Следовательно, угол $\alpha$ принадлежит первой или четвертой четверти.

Ответ: первая или четвертая четверть.

б) Равенство $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля является неположительным. Это означает, что $\sin \alpha \le 0$.

На тригонометрической окружности синус угла соответствует ординате (координате y) точки. Ордината неположительна для точек, расположенных в третьей и четвертой координатных четвертях, а также на оси абсцисс (где $y=0$).

Следовательно, угол $\alpha$ принадлежит третьей или четвертой четверти.

Ответ: третья или четвертая четверть.

в) Равенство $\sin \alpha = \cos \alpha$ означает, что значения синуса и косинуса для угла $\alpha$ совпадают. Это происходит, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки.

- $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$ в первой четверти.

- $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$ в третьей четверти.

Если разделить обе части уравнения на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$), получим $\text{tg } \alpha = 1$. Значение тангенса равно 1 для углов в первой и третьей четвертях (например, $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\alpha = \frac{5\pi}{4}$).

Следовательно, угол $\alpha$ принадлежит первой или третьей четверти.

Ответ: первая или третья четверть.

г) Уравнение $|\text{tg } \alpha| + \text{tg } \alpha = 0$ можно преобразовать к виду $|\text{tg } \alpha| = -\text{tg } \alpha$.

Данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля является неположительным, то есть $\text{tg } \alpha \le 0$.

Тангенс угла является неположительным, когда синус и косинус имеют разные знаки (или когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю).

- Во второй четверти $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$, поэтому $\text{tg } \alpha < 0$.

- В четвертой четверти $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$, поэтому $\text{tg } \alpha < 0$.

- Случай $\text{tg } \alpha = 0$ соответствует углам, лежащим на оси абсцисс, которые являются границей между этими четвертями.

Следовательно, угол $\alpha$ принадлежит второй или четвертой четверти.

Ответ: вторая или четвертая четверть.