Номер 582, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 582, страница 169.

Условие.

582. Какие значения $\beta$ удовлетворяют равенству $\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, если:

а) $-\frac{\pi}{2} \leq \beta \leq 0$;

б) $0 \leq \beta \leq \frac{\pi}{2}$;

в) $\frac{3\pi}{2} \leq \beta \leq \frac{5\pi}{2}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения $cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение тригонометрического уравнения $cos x = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а главным значением арккосинуса является $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение уравнения $cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ таково:

$\beta = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

Это выражение представляет две серии решений:

1) $\beta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

2) $\beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь для каждого пункта найдем значения $\beta$, которые принадлежат заданному промежутку, перебирая целые значения $n$.

а) Найдем значения $\beta$, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le 0$.

Рассмотрим первую серию решений: $\beta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

При $n=0, \beta = \frac{\pi}{4}$. Это значение не входит в промежуток $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.

При $n=-1, \beta = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Это значение также не входит в промежуток.

Рассмотрим вторую серию решений: $\beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

При $n=0, \beta = -\frac{\pi}{4}$. Проверим, входит ли это значение в промежуток: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le 0$. Неравенство верно, так как $-\frac{2\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} \le 0$. Следовательно, $\beta = -\frac{\pi}{4}$ является решением.

При других целых значениях $n$ решения не будут попадать в заданный интервал.

Ответ: $\beta = -\frac{\pi}{4}$.

б) Найдем значения $\beta$, удовлетворяющие условию $0 \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим первую серию решений: $\beta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

При $n=0, \beta = \frac{\pi}{4}$. Проверим, входит ли это значение в промежуток: $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$. Неравенство верно, так как $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{4}$. Следовательно, $\beta = \frac{\pi}{4}$ является решением.

Другие целые значения $n$ дают корни, не входящие в заданный промежуток.

Рассмотрим вторую серию решений: $\beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

При $n=0, \beta = -\frac{\pi}{4}$. Это значение не входит в промежуток $[0, \frac{\pi}{2}]$.

При $n=1, \beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Это значение не входит в промежуток.

Таким образом, в данном промежутке есть только одно решение.

Ответ: $\beta = \frac{\pi}{4}$.

в) Найдем значения $\beta$, удовлетворяющие условию $\frac{3\pi}{2} \le \beta \le \frac{5\pi}{2}$.

Рассмотрим первую серию решений: $\beta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Решим неравенство:

$\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $\frac{3}{2} \le \frac{1}{4} + 2n \le \frac{5}{2}$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $\frac{6}{4} - \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{10}{4} - \frac{1}{4}$, что дает $\frac{5}{4} \le 2n \le \frac{9}{4}$.

Разделим на 2: $\frac{5}{8} \le n \le \frac{9}{8}$, или $0.625 \le n \le 1.125$.

Единственное целое число $n$ в этом интервале - это $n=1$.

При $n=1$ получаем решение: $\beta = \frac{\pi}{4} + 2\pi(1) = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.

Рассмотрим вторую серию решений: $\beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Решим неравенство:

$\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $\frac{3}{2} \le -\frac{1}{4} + 2n \le \frac{5}{2}$.

Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям: $\frac{6}{4} + \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{10}{4} + \frac{1}{4}$, что дает $\frac{7}{4} \le 2n \le \frac{11}{4}$.

Разделим на 2: $\frac{7}{8} \le n \le \frac{11}{8}$, или $0.875 \le n \le 1.375$.

Единственное целое число $n$ в этом интервале - это $n=1$.

При $n=1$ получаем решение: $\beta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(1) = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Оба найденных значения $\frac{7\pi}{4}$ и $\frac{9\pi}{4}$ принадлежат заданному промежутку $[\frac{6\pi}{4}, \frac{10\pi}{4}]$.

Ответ: $\beta = \frac{7\pi}{4}; \beta = \frac{9\pi}{4}$.