Номер 585, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 585, страница 170.

Условие.

585. На рисунке 66 на единичной окружности выделены дуги, все точки которых удовлетворяют условию: а) $tg \alpha \leq 1$; б) $ctg \alpha \leq \sqrt{3}$. Запишите все значения $\alpha$, для которых выполняется указанное условие.

а)

б)

Рисунок 66

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Решение неравенства $tg \alpha \le 1$. На единичной окружности значение тангенса угла $\alpha$ соответствует ординате (координате y) точки пересечения продолжения радиус-вектора угла $\alpha$ с линией тангенсов, которая является касательной к окружности в точке $(1, 0)$. На рисунке а) эта линия $x=1$ показана. Условию $tg \alpha \le 1$ удовлетворяют все углы $\alpha$, для которых ордината точки на линии тангенсов не превышает 1. Сначала найдем значения $\alpha$, для которых $tg \alpha = 1$. Главным значением является $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Функция тангенса не определена при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число. На рисунке эти точки $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) отмечены выколотыми (пустыми) кружками. На промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $tg \alpha$ возрастает. Следовательно, неравенство $tg \alpha \le 1$ на этом промежутке выполняется для всех $\alpha$ из полуинтервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}]$. Это соответствует выделенной дуге в IV и I четвертях. Так как период тангенса равен $\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $\pi k$ к концам этого полуинтервала. На рисунке также показана вторая дуга, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{5\pi}{4}$, которая соответствует случаю $k=1$ в общей формуле.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < \alpha \le \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решение неравенства $ctg \alpha \le \sqrt{3}$. На единичной окружности значение котангенса угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате x) точки пересечения продолжения радиус-вектора угла $\alpha$ с линией котангенсов, которая является касательной к окружности в точке $(0, 1)$. На рисунке б) эта линия $y=1$ показана. Условию $ctg \alpha \le \sqrt{3}$ удовлетворяют все углы $\alpha$, для которых абсцисса точки на линии котангенсов не превышает $\sqrt{3}$. Сначала найдем значения $\alpha$, для которых $ctg \alpha = \sqrt{3}$. Главным значением в интервале $(0, \pi)$ является $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Функция котангенса не определена при $\alpha = \pi k$, где $k$ - любое целое число. На рисунке эти точки $0$ (или $2\pi$) и $\pi$ отмечены выколотыми (пустыми) кружками. На промежутке $(0, \pi)$ функция $ctg \alpha$ убывает. Следовательно, неравенство $ctg \alpha \le \sqrt{3}$ на этом промежутке выполняется для всех $\alpha$ из полуинтервала $[\frac{\pi}{6}, \pi)$. Это соответствует выделенной дуге в I и II четвертях. Так как период котангенса равен $\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $\pi k$ к концам этого полуинтервала. На рисунке также показана вторая дуга, от $\frac{7\pi}{6}$ до $2\pi$, которая соответствует случаю $k=1$ в общей формуле.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k \le \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.